Θεωρία – Β1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x0

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Μη πεπερασμένα όρια συναρτήσεων στο x_0 \in\rr: Ποιες ισοδυναμίες ισχύουν;

  • \orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty \Leftrightarrow \orio{x}{x_{0^-}}{f(x)}=\orio{x}{x_{0^+}}{f(x)}=+\infty
  • \orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty \Leftrightarrow \orio{x}{x_{0^-}}{f(x)}=\orio{x}{x_{0^+}}{f(x)}=-\infty

Μη πεπερασμένα όρια συναρτήσεων στο x_0 \in\rr: Ποιες ιδιότητες ισχύουν;

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες :

  •  Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty, τότε f(x)>0 κοντά στο x_0
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty, τότε f(x)<0 κοντά στο x_0
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty, τότε \orio{x}{x_0}{(-f(x))}=-\infty
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty, τότε \orio{x}{x_0}{(-f(x))}=+\infty
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=\pm\infty, τότε \orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=0
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=\pm\infty, τότε \orio{x}{x_0}{|f(x)|}=+\infty
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty, τότε \orio{x}{x_0}{\sqrt[\grk]{f(x)}}=+\infty
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=0 και f(x)>0 κοντά στο x_0 τότε \orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=+\infty
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}=0 και f(x)<0 κοντά στο x_0 τότε \orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=-\infty

Ποιο είναι το όριο \orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^{\grk}}}, με \grk\in\nn^*;

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

  • Αν \grk άρτιος, δηλαδή \grk=2\grn τότε \orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^{2\grn}}}=+\infty.

Ειδικότερα, ισχύει \orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^2}}=+\infty.

  • Αν \grk περιττός, δηλαδή \grk=2\grn+1 τότε
    • \orio{x}{{0^+}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}=+\infty.

Ειδικότερα, ισχύει \orio{x}{x_{0^+}}{\dfrac{1}{x}}=+\infty.

    • \orio{x}{{0^-}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}=-\infty.

Ειδικότερα, ισχύει \orio{x}{x_{0^-}}{\dfrac{1}{x}}=-\infty.

Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το \orio{x}{{0}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}

Να διατυπώσετε τα θεωρήματα αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων:

Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων στο x_0 \in \rr αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1o (όριο αθροίσματος)

Rendered by QuickLaTeX.com

ΘΕΩΡΗΜΑ 2o (όριο γινομένου)

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Ποιες είναι οι περιπτώσεις που έχουμε απροσδιόριστες μορφές ορίων;

Οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:

  • (+\infty)+(-\infty)
  • 0 \cdot (\pm \infty)

Οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:

  • (+\infty)-(+\infty)
  • (-\infty)-(-\infty)
  • \dfrac{0}{0}
  • \dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}
Please follow and like us: