Β1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x0

Θεωρία – Β1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x0

02/11/202129/12/2021 - by Γιάννης Βελέντζας

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Μη πεπερασμένα όρια συναρτήσεων στο $x_0 \in\rr$ : Ποιες ισοδυναμίες ισχύουν;

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty \Leftrightarrow \orio{x}{x_{0^-}}{f(x)}=\orio{x}{x_{0^+}}{f(x)}=+\infty$
$\orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty \Leftrightarrow \orio{x}{x_{0^-}}{f(x)}=\orio{x}{x_{0^+}}{f(x)}=-\infty$

Μη πεπερασμένα όρια συναρτήσεων στο $x_0 \in\rr$ : Ποιες ιδιότητες ισχύουν;

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες :

Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty,$ τότε $f(x)>0$ κοντά στο $x_0$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty,$ τότε $f(x)<0$ κοντά στο $x_0$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty,$ τότε $\orio{x}{x_0}{(-f(x))}=-\infty$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=-\infty,$ τότε $\orio{x}{x_0}{(-f(x))}=+\infty$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=\pm\infty,$ τότε $\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=0$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=\pm\infty,$ τότε $\orio{x}{x_0}{|f(x)|}=+\infty$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=+\infty,$ τότε $\orio{x}{x_0}{\sqrt[\grk]{f(x)}}=+\infty$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=0$ και $f(x)>0$ κοντά στο $x_0$ τότε $\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=+\infty$
Αν $\orio{x}{x_0}{f(x)}=0$ και $f(x)<0$ κοντά στο $x_0$ τότε $\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{f(x)}}=-\infty$

Ποιο είναι το όριο $\orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^{\grk}}},$ με $\grk\in\nn^*;$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν $\grk$ άρτιος, δηλαδή $\grk=2\grn$ τότε $\orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^{2\grn}}}=+\infty.$

Ειδικότερα, ισχύει $\orio{x}{0}{\dfrac{1}{x^2}}=+\infty.$

Αν περιττός, δηλαδή τότε
- $\orio{x}{{0^+}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}=+\infty.$

Ειδικότερα, ισχύει $\orio{x}{x_{0^+}}{\dfrac{1}{x}}=+\infty.$

- $\orio{x}{{0^-}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}=-\infty.$

Ειδικότερα, ισχύει $\orio{x}{x_{0^-}}{\dfrac{1}{x}}=-\infty.$

Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το $\orio{x}{{0}}{\dfrac{1}{x^{2\grn+1}}}$

Να διατυπώσετε τα θεωρήματα αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων:

Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων στο $x_0 \in \rr$ αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1o (όριο αθροίσματος)

Rendered by QuickLaTeX.com

ΘΕΩΡΗΜΑ 2o (όριο γινομένου)

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Ποιες είναι οι περιπτώσεις που έχουμε απροσδιόριστες μορφές ορίων;

Οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:

$(+\infty)+(-\infty)$
$0 \cdot (\pm \infty)$

Οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:

$(+\infty)-(+\infty)$
$(-\infty)-(-\infty)$
$\dfrac{0}{0}$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$

Please follow and like us:

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Δείτε όλα τα άρθρα του/της Γιάννης Βελέντζας →

Social media & sharing icons powered by UltimatelySocial