Β1.5 Ιδιότητες των ορίων

Θεωρία – Β1.5 Ιδιότητες των ορίων

- by Γιάννης Βελέντζας

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;

 Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα:

Θεώρημα 1ο

  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}>0, τότε f(x)>0 κοντά στο x_0
  • Αν \orio{x}{x_0}{f(x)}<0, τότε f(x)<0 κοντά στο x_0

Θεώρημα 2ο

Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x_0 και ισχύει f(x) \leq g(x) κοντά στο x_0, τότε

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}\leq \orio{x}{x_0}{g(x)}\]

Όρια και πράξεις: Ποιες ιδιότητες ισχύουν;

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στοx_0, τότε:

  1. \orio{x}{x_0}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\orio{x}{x_0}{f(x)}+\orio{x}{x_0}{g(x)}
  2. \orio{x}{x_0}{\left(\grk\cdot f(x)\right)}=\grk \cdot \orio{x}{x_0}{f(x)}, για κάθε σταθερά \grk\in\rr
  3. \orio{x}{x_0}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\orio{x}{x_0}{f(x)}\cdot \orio{x}{x_0}{g(x)}
  4. \orio{x}{x_0}{\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)}=\dfrac{\orio{x}{x_0}{f(x)}}{\orio{x}{x_0}{g(x)}}, εφόσον \orio{x}{x_0}{g(x)}\neq 0
  5. \orio{x}{x_0}{\left|f(x)\right|}=\left|\orio{x}{x_0}{f(x)}\right|
  6. \orio{x}{x_0}{\sqrt[\grk]{f(x)}} =\sqrt[\grk]{\orio{x}{x_0}{f(x)}}, εφόσον \orio{x}{x_0}{f(x)}\geq 0 κοντά στο x_0

Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. Άμεση συνέπεια αυτού είναι:

  • \orio{x}{x_0}{\left[f(x)\right]^{\grn}}=\left[\orio{x}{x_0}{f(x)}\right]^{\grn}, \grn \in \nn^*
  • \orio{x}{x_0}{x^{\grn}}=x_0^{\grn}

Έστω το πολυώνυμο P(x)=\gra_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0 και x_0\in\rr.

Να αποδείξετε ότι \orio{x}{x_0}{P(x)}=P(x_0)

Έστω το πολυώνυμο P(x)=\gra_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0 και x_0\in\rr.

    \begin{align*} \orio{x}{x_0}{P(x)} &= \orio{x}{x_0}{\gra_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0}\\ &= \orio{x}{x_0}{\left(\gra_{\grn}x^{\grn} \right)}+\orio{x}{x_0}{\left( \gra_{\grn-1}x^{\grn-1}\right)}+\dots+\orio{x}{x_0}{\left( \gra_{1}x\right)}+\orio{x}{x_0}{\gra_0 }\\ &=\gra_{\grn}x_0^{\grn}+ \gra_{\grn-1}x_0^{\grn-1}+\dots+\gra_{1}x_0 +\gra_0\\ &= P(x_0) \end{align*}

Έστω τα πολυώνυμα

  • P(x)=\gra_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0,
  • G(x)=\grb_{\grn}x^{\grn}+\grb_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\grb_{1}x+\grb_0.

Να αποδείξετε ότι \orio{x}{x_0}{\dfrac{P(x)}{G(x)}}=\dfrac{P(x_0)}{G(x_0)}

Έστω τα πολυώνυμα

  • P(x)=\gra_{\grn}x^{\grn}+\gra_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\gra_{1}x+\gra_0 kαι
  • G(x)=\grb_{\grn}x^{\grn}+\grb_{\grn-1}x^{\grn-1}+\dots +\grb_{1}x+\grb_0.

Τότε \orio{x}{x_0}{\dfrac{P(x)}{G(x)}}=\dfrac{\orio{x}{x_0}{P(x)}}{\orio{x}{x_0}{G(x)}}=\dfrac{P(x_0)}{G(x_0)}

 Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. 

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν

  • h(x) \leq f(x) \leq g(x) κοντά στο x_0 και
  • \orio{x}{x_0}{h(x)}=\orio{x}{x_0}{g(x)}=\grl

τότε

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\grl\]

 Να διατυπώσετε τη βασική τριγωνομετρική ανισότητα του ημx  

Ισχύει ότι:

|\hm x| \le |x|, για κάθε x \in\rr

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0.

Τριγωνομετρικά όρια: Ποιες ιδιότητες ισχύουν; 
Αποδεικνύεται ότι:

  • \orio{x}{x_0}{\hm x }=\hm x_0
  • \orio{x}{x_0}{\syn x }=\syn x_0
  • \orio{x}{0}{\dfrac{\hm x}{x} }=1
  • \orio{x}{0}{\dfrac{\syn x -1}{x} }=0

Πως υπολογίζουμε το όριο μιας σύνθετης συνάρτησης;

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το \orio{x}{x_0}{f\left(g(x)\right)} της σύνθετης συνάρτησης f\circ g στο σημείο x_0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε u = g(x).
  • Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u_0=\orio{x}{x_0}{g(x)} και
  • Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το \ell=\orio{u}{u_0}{f(u)}.

Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) \neq u_0 κοντά στο x_0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με \ell, δηλαδή ισχύει:

    \[\orio{x}{x_0}{f(g(x))}=\orio{u}{u_0}{f(u)}\]

Please follow and like us:
fb-share-icon
Tweet

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Δείτε όλα τα άρθρα του/της Γιάννης Βελέντζας →