Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη;
Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα:
Θεώρημα 1ο
- Αν
τότε
κοντά στο
- Αν
τότε
κοντά στο
Θεώρημα 2ο
Αν οι συναρτήσεις έχουν όριο στο
και ισχύει
κοντά στο
τότε
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. Άμεση συνέπεια αυτού είναι: Έστω το πολυώνυμο Να αποδείξετε ότι Έστω το πολυώνυμο Έστω τα πολυώνυμα Να αποδείξετε ότι Έστω τα πολυώνυμα Τότε τότε:
για κάθε σταθερά
εφόσον
εφόσον
κοντά στο
και
και
kαι
Έστω οι συναρτήσεις Αν
κοντά στο
και
τότε
Ισχύει ότι:
, για κάθε
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν
Πως υπολογίζουμε το όριο μιας σύνθετης συνάρτησης;
Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το της σύνθετης συνάρτησης
στο σημείο
τότε εργαζόμαστε ως εξής:
- Θέτουμε
- Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το
και
- Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το
.
Αποδεικνύεται ότι, αν κοντά στο
τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με
δηλαδή ισχύει: