Θεωρία – Β1.4 Όριο συνάρτησης στο x0

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πως ορίζεται η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης f στο x_{0} «διαισθητικά»;

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό \mathscr{l}, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x_0, τότε γράφουμε

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l}\]

και διαβάζουμε

«το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x_0 είναι \mathscr{l}»  ή

«το όριο της f(x) στο x_0 είναι \mathscr{l}»

Πότε έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης f στο x_{0};

Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο x_{0} πρέπει η f να ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο x_{0}

ή αλλιώς η f να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής

    \[(\alpha,x_{0}) \cup (x_{0},\beta)\]

ή σε περίπτωση που δεν είναι δυνατό το προηγούμενο σε ένα διάστημα της μορφής

    \[(\alpha,x_{0}) \text{ ή } (x_{0},\beta)\]

Παρατηρήσεις:

  • Το x_0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. α, β) ή να μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. γ).
  • Η τιμή της f στο x_0, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο x_0 (Σχ. α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. β).

Πως ορίζονται τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο x_0 ;

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό \mathscr{l_1}, καθώς το x προσεγγίζει το x_0 από μικρότερες τιμές (x < x_0), τότε γράφουμε:

    \[\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l_1}\]

και διαβάζουμε:

«το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x_0 \textbf{από τα αριστερά}, είναι \mathscr{l_1}».

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό \mathscr{l_2}, καθώς το x προσεγγίζει το x_0 από μεγαλύτερες τιμές (x > x_0), τότε γράφουμε:

    \[\orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\mathscr{l_2}\]

και διαβάζουμε:

«το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x_0 \textbf{από τα δεξιά}, είναι \mathscr{l_2}».

Τους αριθμούς

\mathscr{l_1}=\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)} και \mathscr{l_2}=\orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}

τους λέμε πλευρικά όρια της f στο x_0 και συγκεκριμένα:

  • το \mathscr{l_1} αριστερό όριο της f στο x_0 και
  • το \mathscr{l_2} δεξιό όριο της f στο x_0.

Ποια πρόταση συνδέει το όριο της f στο x_0 και τα πλευρικά όρια της f στο x_0 ;

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (\gra, x_0)\cup (x_0, \grb), τότε ισχύει η ισοδυναμία:

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l}\]

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x_0,\grb), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (\gra, x_0), τότε ορίζουμε:

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\mathscr{l}\]

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (\gra, x_0), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (x_0,\grb), τότε ορίζουμε:

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l}\]

Παρατήρηση: Αποδεικνύεται ότι το \orio{x}{x_0}{f(x)} είναι ανεξάρτητο των άκρων \gra, \grb των διαστημάτων (\gra, x_0) και (x_0,\grb) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.

Ποιες ισοδυναμίες προκύπτουν από τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης f στο x_{0} ;

  • \orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x_0}{(f(x)-\mathscr{l})}=0
  • \orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{h}{0}{f(x_0+h)}=\mathscr{l}

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x_0 μια ιδιότητα Ρ;

Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x_0 μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:

  • Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (\gra, x_0)\cup (x_0, \grb) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ.
  • Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (\gra, x_0), έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x_0, \grb).
  • Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (x_0, \grb), έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (\gra, x_0).

Πως ορίζεται το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης στο x_0;

Έστω f(x)=x η ταυτοτική συνάρτηση. Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\orio{x}{x_0}{x}=x_0\]

Προκύπτει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x στο x_0 είναι ίσο με την τιμή της στο x_0.

Πως ορίζεται το όριο της σταθερής συνάρτησης στο x_0;

Έστω f(x)=c, ~ c\in\rr σταθερή συνάρτηση. Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:

    \[\orio{x}{x_0}{f(x)}=\orio{x}{x_0}{c}=c\]

Προκύπτει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης f(x) = c στο x_0 είναι ίσο με c.

Please follow and like us: