Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Πως ορίζεται η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης στο
«διαισθητικά»;
Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό
καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό
τότε γράφουμε
και διαβάζουμε
«το όριο της όταν το x τείνει στο
είναι
» ή
«το όριο της στο
είναι
»
Πότε έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης στο
;
Για να αναζητήσουμε το όριο της στο
πρέπει η
να ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο
ή αλλιώς η να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
ή σε περίπτωση που δεν είναι δυνατό το προηγούμενο σε ένα διάστημα της μορφής
Παρατηρήσεις:
- Το
μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. α, β) ή να μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. γ).
- Η τιμή της f στο
όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο
(Σχ. α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. β).
Πως ορίζονται τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο ;
Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό
καθώς το
προσεγγίζει το
από μικρότερες τιμές
τότε γράφουμε:
και διαβάζουμε:
«το όριο της όταν το
τείνει στο
\textbf{από τα αριστερά}, είναι
».
Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό
καθώς το
προσεγγίζει το
από μεγαλύτερες τιμές
τότε γράφουμε:
και διαβάζουμε:
«το όριο της όταν το
τείνει στο
\textbf{από τα δεξιά}, είναι
».
Τους αριθμούς
και
τους λέμε πλευρικά όρια της f στο και συγκεκριμένα:
- το
αριστερό όριο της f στο
και
- το
δεξιό όριο της f στο
Ποια πρόταση συνδέει το όριο της f στο και τα πλευρικά όρια της f στο
;
Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής τότε ισχύει η ισοδυναμία:
Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής
τότε ορίζουμε:
Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής
τότε ορίζουμε:
Παρατήρηση: Αποδεικνύεται ότι το είναι ανεξάρτητο των άκρων
των διαστημάτων
και
στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.
Ποιες ισοδυναμίες προκύπτουν από τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης στο
;
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ;
Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:
- Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ.
- Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής
- Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής
Πως ορίζεται το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης στο ;
Έστω η ταυτοτική συνάρτηση. Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:
Προκύπτει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης στο
είναι ίσο με την τιμή της στο
Πως ορίζεται το όριο της σταθερής συνάρτησης στο ;
Έστω σταθερή συνάρτηση. Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:
Προκύπτει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης στο
είναι ίσο με