Θεωρία - Β1.4 Όριο συνάρτησης στο x0

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πως ορίζεται η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης $f$ στο $x_{0}$ «διαισθητικά»;

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης $f$ προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό $\mathscr{l},$ καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό $x_0,$ τότε γράφουμε

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l}$

και διαβάζουμε

«το όριο της $f(x),$ όταν το x τείνει στο $x_0$ είναι $\mathscr{l}$ » ή

«το όριο της $f(x)$ στο $x_0$ είναι $\mathscr{l}$ »

Πότε έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης $f$ στο $x_{0}$ ;

Για να αναζητήσουμε το όριο της $f$ στο $x_{0}$ πρέπει η $f$ να ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο $x_{0}$

ή αλλιώς η $f$ να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής

$(\alpha,x_{0}) \cup (x_{0},\beta)$

ή σε περίπτωση που δεν είναι δυνατό το προηγούμενο σε ένα διάστημα της μορφής

$(\alpha,x_{0}) \text{ ή } (x_{0},\beta)$

Παρατηρήσεις:

Το $x_0$ μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. α, β) ή να μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. γ).
Η τιμή της f στο $x_0,$ όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο $x_0$ (Σχ. α) ή διαφορετική από αυτό (Σχ. β).

Πως ορίζονται τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο $x_0$ ;

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης $f$ προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό $\mathscr{l_1},$ καθώς το $x$ προσεγγίζει το $x_0$ από μικρότερες τιμές $(x < x_0),$ τότε γράφουμε:

$\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l_1}$

και διαβάζουμε:

«το όριο της $f(x),$ όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ \textbf{από τα αριστερά}, είναι $\mathscr{l_1}$ ».

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης $f$ προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό $\mathscr{l_2},$ καθώς το $x$ προσεγγίζει το $x_0$ από μεγαλύτερες τιμές $(x > x_0),$ τότε γράφουμε:

$\orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\mathscr{l_2}$

και διαβάζουμε:

«το όριο της $f(x),$ όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ \textbf{από τα δεξιά}, είναι $\mathscr{l_2}$ ».

Τους αριθμούς

$\mathscr{l_1}=\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}$ και $\mathscr{l_2}=\orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}$

τους λέμε πλευρικά όρια της f στο $x_0$ και συγκεκριμένα:

το $\mathscr{l_1}$ αριστερό όριο της f στο $x_0$ και
το $\mathscr{l_2}$ δεξιό όριο της f στο $x_0.$

Ποια πρόταση συνδέει το όριο της f στο $x_0$ και τα πλευρικά όρια της f στο $x_0$ ;

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(\gra, x_0)\cup (x_0, \grb),$ τότε ισχύει η ισοδυναμία:

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l}$

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(x_0,\grb),$ αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής $(\gra, x_0),$ τότε ορίζουμε:

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{+}_0}{f(x)}=\mathscr{l}$

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(\gra, x_0),$ αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής $(x_0,\grb),$ τότε ορίζουμε:

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x^{-}_0}{f(x)}=\mathscr{l}$

Παρατήρηση: Αποδεικνύεται ότι το $\orio{x}{x_0}{f(x)}$ είναι ανεξάρτητο των άκρων $\gra, \grb$ των διαστημάτων $(\gra, x_0)$ και $(x_0,\grb)$ στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.

Ποιες ισοδυναμίες προκύπτουν από τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης $f$ στο $x_{0}$ ;

$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{x}{x_0}{(f(x)-\mathscr{l})}=0$
$\orio{x}{x_0}{f(x)}=\mathscr{l} \Leftrightarrow \orio{h}{0}{f(x_0+h)}=\mathscr{l}$

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο $x_0$ μια ιδιότητα Ρ;

Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο $x_0$ μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:

Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(\gra, x_0)\cup (x_0, \grb)$ και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ.
Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(\gra, x_0),$ έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής $(x_0, \grb).$
Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής $(x_0, \grb),$ έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής $(\gra, x_0).$