Τράπεζα θεμάτων – Α2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών.  (μέρος Γ)

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Θυμάμαι

  • \left(\gra\pm \grb\right)^2\geq0 για κάθε τιμή των \alpha, \beta.
  • \gra^2+\grb^2\geq 0 για κάθε τιμή των \alpha, \beta.
  • \gra^2+\grb^2=0 \Leftrightarrow \gra=\grb=0
1287 – Θέμα 2ο 

Δίνονται οι παραστάσεις: K = 2\alpha^2 + \beta^2 και \Lambda = 2\alpha \beta, όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R}

α. Να δείξετε ότι: K \geq \Lambda, για κάθε τιμή των \alpha, \beta.

(Μονάδες 12)

β. Για ποιες τιμές των \alpha, \beta ισχύει η ισότητα K = \Lambda; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

Ύλη:  2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών.


1317 – Θέμα 2ο

Δίνονται οι παραστάσεις: K = 2\alpha^2 + \beta^2 + 9 και \Lambda = 2\alpha (3 - \beta), όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R}.

α. Να δείξετε ότι: K - \Lambda = (\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2) + (\alpha^2 - 6\alpha + 9).

(Μονάδες 3)

β. Να δείξετε ότι: K \geq \Lambda, για κάθε τιμή των \alpha, \beta.

(Μονάδες 10)

γ. Για ποιες τιμές των \alpha, \beta ισχύει η ισότητα K = \Lambda; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

Ύλη:  2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους, 2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών.

 


1353 – Θέμα 2ο 

α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:

    \[(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10\]

(Μονάδες 12)

β. Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε: x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 0

(Μονάδες 13)

Ύλη: 2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους,  2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών. 


13323 – Θέμα 2ο 

α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:

    \begin{eqnarray*} (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 8y + 17 \end{eqnarray*}

(Μονάδες 12)

β. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε:

    \begin{eqnarray*} x^2 + y^2 - 2x + 8y + 17 = 0 \end{eqnarray*}

(Μονάδες 13)

Ύλη: 2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους,  2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών. 


12922 – Θέμα 2ο

Δίνονται οι παραστάσεις: A = \alpha^2 + \beta^2 και B = 2\alpha\beta, ~\alpha, \beta \in \mathbb{R}.

α. Να βρείτε τις τιμές των \alpha, \beta \in \mathbb{R} για τις οποίες A = 0.

(Μονάδες 8)

β. Να αποδείξετε ότι A - B \geq 0, ~\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}.

(Μονάδες 9)

γ. Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των \alpha, \beta \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει A - B = 0.

(Μονάδες 8)

 Ύλη: 2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους, 2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών. 


13266 – Θέμα 2ο

Δίνονται οι παραστάσεις A = \alpha^2 + 4\alpha + 5 και B = (2\beta + 1)^2 - 1, με \alpha. \beta \in \mathbb{R}

α. Να δείξετε ότι \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} ισχύει A = (\alpha + 2)^2 + 1.

(Μονάδες 8)

β1. Να δείξετε ότι A+ B \geq 0.

(Μονάδες 9)

β2. Για ποιες τιμές των \alpha, \beta \in \mathbb{R} ισχύει A + B = 0;

(Μονάδες 8)

Ύλη: 2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους,  2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών. 


 

Please follow and like us: