Θεωρία – 1.1 Γραμμικά Συστήματα (μέρος B)

Άλγεβρα (Β’ Λυκείου)

Τι ονομάζουμε σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους;

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις $\gra_1 x +\grb_1 y= \grg_1$ και $\gra_2 x +\grb_2 y= \grg_2$ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 2 x 2 και γράφουμε

$\left\{\begin{array}{l} \gra_1 x +\grb_1 y= \grg_1 \\ \gra_2 x +\grb_2 y= \grg_2 \end{array} \right.$

Τι ονομάζουμε λύση ενός συστήματος και τι επίλυση ενός συστήματος;

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ενός συστήματος λέγεται λύση του συστήματος.

Επίλυση ενός συστήματος ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης του συνόλου των λύσεων του συστήματος.

Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο γραμμικό σύστημα το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Τα δύο αυτά συστήματα λέγονται ισοδύναμα συστήματα.

Πως κάνουμε επαλήθευση του συστήματος;

Επειδή κάνουμε πολλά βήματα μέχρι να λύσουμε ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να κάνουμε λάθος στους αριθμητικούς υπολογισμούς.

Για το λόγο αυτό είναι σκόπιμο να αντικαθιστούμε τις τιμές των αγνώστων που βρήκαμε στις αρχικές εξισώσεις του συστήματος και να ελέγχουμε αν τις επαληθεύουν, δηλαδή να κάνουμε επαλήθευση του συστήματος.

Ποιες περιπτώσεις αναμένουμε από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2;

Γενικά, από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 αναμένουμε μια μόνο από τις περιπτώσεις :

Το σύστημα να έχει μοναδική λύση
Το σύστημα να είναι αδύνατο
Το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Με ποιες μεθόδους μπορεί να λυθεί ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους;

Μπορεί να λυθεί με τις εξής μεθόδους:

Μέθοδος της αντικατάστασης.
Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών.
Μέθοδος των οριζουσών.
Γραφική επίλυση

Πότε ένα γραμμικό σύστημα 2 x 2 λέγεται αδύνατο και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά;

Ένα σύστημα λέγεται αδύνατο όταν δεν υπάρχουν τιμές των $x, y$ που να το επαληθεύουν. Ένα σύστημα που είναι αδύνατο γεωμετρικά σημαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Πότε ένα γραμμικό σύστημα 2 x 2 έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο) και πως ερμηνεύεται γεωμετρικά;

Ένα σύστημα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο) όταν υπάρχουν άπειρα ζεύγη $(x,y)$ που το επαληθεύουν. Ένα σύστημα που έχει άπειρες λύσεις γεωμετρικά σημαίνει

ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήματος συμπίπτουν.

Έστω το γραμμικό σύστημα $\left \{ \begin{array}{l} \alpha_1 x +\grb_1 y= \grg_1 \\ \alpha_2 x +\grb_2 y= \grg_2 \end{array} \right.$ Πως ορίζονται οι ορίζουσες $D, D_x, D_y$ ;

Έστω το σύστημα $\left \{ \begin{array}{l} \alpha_1 x +\grb_1 y= \grg_1 \\ \alpha_2 x +\grb_2 y= \grg_2 \end{array} \right.$ .

Τότε ορίζουμε τις ορίζουσες:

$D= \begin{array}{|ll|} \alpha_1 &\grb_1 \\\alpha_2 &\grb_2\end{array}=\alpha_1 \cdot \grb_2 - \alpha_2 \cdot \grb_1$

$D_x= \left| \begin{array}{ll}\gamma_1 & \grb_1 \\\grg_2 & \grb_2\end{array}\right|=\grg_1 \cdot \grb_2 - \grg_2 \cdot \grb_1$

$D_y= \begin{array}{|ll|}\gra_1 &\grg_1 \\\gra_2 &\grg_2\end{array}=\gra_1 \cdot \grg_2 - \gra_2 \cdot \grg_1$

Πως γίνεται η επίλυση του γραμμικού συστήματος 2 Χ 2 με τη βοήθεια των οριζουσών;

Για το γραμμικό σύστημα $\left \{ \begin{array}{l} \gra_1 x +\grb_1 y= \grg_1 \\ \gra_2 x +\grb_2 y= \grg_2 \end{array} \right.$ ισχύει:

Αν $D \neq 0,$ έχει μοναδική λύση, την $(x,y)$ με $x=\dfrac{D_x}{D}$ και $y=\dfrac{D_y}{D}.$
Αν $D=0,$ είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους και τι ονομάζουμε λύση της;

Μία εξίσωση της μορφής $\gra x+\grb y+\grg z=0,$ με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές $\gra, \grb, \grg$ διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους.

Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει.

Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους;

Σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζεται κάθε σύστημα της μορφής:

$\left \{\begin{array}{l} \gra_1 x +\grb_1 y + \grg_1 z= \grd_1 \\ \gra_2 x +\grb_2 y + \grg_2 z= \grd_2 \\ \gra_3 x +\grb_3 y + \grg_4 z= \grd_3 \\ \end{array} \right.$

Τι λύσεις μπορεί να έχει ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους;

Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 . Για παράδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο.

Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 3 x 3 ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα 3 x 3 ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Βιβλιογραφία: Άλγεβρα B Λυκείου, Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ. Β. ΚΑΤΣΑΡΓΥΡΗΣ, Σ. ΠΑΠΑΣΤΑΥΡΙΔΗΣ, Γ. ΠΟΛΥΖΟΣ,

Α. ΣΒΕΡΚΟΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ (link)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Σχετικά Άρθρα

Θεωρία – 1.1 Γραμμικά Συστήματα (μέρος Α)

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας