Θεωρία - 1.1 Γραμμικά Συστήματα (μέρος Α)

Άλγεβρα (Β’ Λυκείου)

Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους και τι ονομάζουμε λύση της;

Κάθε εξίσωση της μορφής $\gra x +\grb y= \grg$ λέγεται γραμμική εξίσωση.

Αν $\gra\neq0$ ή $\grb\neq0$ τότε η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.

Λύση της ονομάζουμε κάθε ζεύγος πραγματικών $(x,y)$ που την επαληθεύει.

Να δείξετε ότι η γραμμική εξίσωση

$\gra x +\grb y= \grg$ με $\gra\neq0$ ή $\grb \neq0$

παριστάνει ευθεία.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Έστω $\grb \neq 0$ και $\gra \neq 0$ . Τότε έχουμε:

$\begin{align*} \gra x +\grb y &= \grg \Leftrightarrow\\ \grb y &= -\gra x +\grg \Leftrightarrow\\ y&=-\dfrac{\gra}{\grb}x+\dfrac{\grg}{\grb} \end{align*}$

που παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης $\grl=-\dfrac{\gra}{\grb}$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\left(0,\dfrac{\grg}{\grb}\right) .$

Έστω $\grb \neq 0$ και $\gra=0$ . Τότε έχουμε:

$\begin{align*} \gra x +\grb y&= \grg \Leftrightarrow \\ 0x +\grb y &= \grg \Leftrightarrow \\ \grb y &= \grg \Leftrightarrow \\ y&=\dfrac{\grg}{\grb} \end{align*}$

που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα $x'x$ και διέρχεται από το σημείο $\left(0,\dfrac{\grg}{\grb}\right).$

Έστω $\grb = 0$ και $\gra\neq 0$ . Τότε έχουμε:

$\begin{align*} \gra x +\grb y&= \grg \Leftrightarrow \\ \gra x&=\grg \Leftrightarrow \\ x&=\dfrac{\grg}{\gra} \end{align*}$

που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον $x'x$ και διέρχεται από το σημείο $A\left(\dfrac{\grg}{\gra},0\right).$

Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση $y=\grk$ ;

Η εξίσωση $y=\grk$ παριστάνει γραφικά μία ευθεία παράλληλη στον άξονα $x'x$ και η οποία διέρχεται από το σημείο $Α(0,\grk)$

Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση $x=\grk$ ;

Η εξίσωση $x=\grk$ παριστάνει γραφικά μία ευθεία παράλληλη στον άξονα $y'y$ και η οποία διέρχεται από το σημείο $Α(\grk,0)$ Παρατήρηση: Η ευθεία $x=\grk$ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.