Τράπεζα θεμάτων - Α6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης (μέρος E)

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

1446 – Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^2 + x + 1, ~x \in \mathbb{R}.$

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ δεν τέμνει τον άξονα $x'x.$

(Μονάδες 5)

β. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της $C_f$ που βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y = 2x + 3.$

(Μονάδες 10)

γ. Έστω $M(x, y)$ σημείο της $C_f.$ Αν για την τετμημένη $x$ του σημείου $M$ ισχύει, $|2x - 1| < 3$ τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y = 2x + 3.$

(Μονάδες 10)

Ύλη: 4.1 Ανισώσεις πρώτου βαθμού, 4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1447 – Θέμα 4ο

Δίνεται η συνάρτηση $f,$ με $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} -x + 2, & \text{αν} ~x < 0\\[5mm] x + 2, & \text{αν} ~x \geq 0 \end{array}\right.$

α. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης $C_f$ της $f$ με τον άξονα $y'y.$

(Μονάδες 3)

β1. Να χαράξετε τη $C_f$ και την ευθεία $y = ,3$ και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους.

(Μονάδες 5)

β2. Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y'y.$ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 4)

γ1. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha,$ η ευθεία $y = \alpha$ τέμνει τη $C_f$ σε δυο σημεία? Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 5)

γ2. Για τις τιμές του $\alpha$ που βρήκατε στο ερώτημα (γ1), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της $C_f$ με την ευθεία $y = \alpha$ και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (β2), αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας.

(Μονάδες 8)

Ύλη: 3.1 Εξισώσεις πρώτου βαθμού, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1449 – Θέμα 4ο

Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ και $g,$ με $f(x) = x^2 - 2x$ και $g(x) = 3x - 4, ~x \in \mathbb{R}.$

α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g.$

(Μονάδες 5)

β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από εκείνη της $g.$

(Μονάδες 10)

γ. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής $y = \alpha, ~\alpha < -1,$ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f.$

(Μονάδες 10)

Ύλη: 3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού, 4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1468 – Θέμα 4ο

Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$ των συναρτήσεων $f$ και $g$ αντίστοιχα, με $f(x) = |x - 2|$ και $g(x) = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}, ~x \in \mathbb{R}.$ \\