Τράπεζα θεμάτων - Α6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης (μέρος Δ)

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

1408 – Θέμα 4ο

Δίνονται οι συναρτήσεις: $f(x) = x^2$ και $g(x) = \grl x + (1 - \grl), ~x \in \mathbb{R}$ και $\grl$ παράμετρος με $\grl \neq 0.$

α. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$ έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου $\grl$ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

(Μονάδες 8)

β. Για ποια τιμή της παραμέτρου $\grl$ οι $C_f$ και $C_g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο? Ποιο είναι το σημείο αυτό?

(Μονάδες 8)

γ. Αν $\grl \neq 2$ και $x_1, x_2$ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_f$ και $C_g,$ να βρεθεί η παράμετρος $\grl$ ώστε να ισχύει:

$(x_1 + x_2)^2 = |x_1 + x_2| + 2.$

(Μονάδες 9)

Ύλη: 3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1433 – Θέμα 4ο

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x) = \alpha x - \alpha + 2$ και $g(x) = x^2 - \alpha + 3$ με $\alpha \in \mathbb{R}.$

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1, 2)$ για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού $\alpha.$

(Μονάδες 7)

β. Αν οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ τέμνονται σε σημείο με τετμημένη $1,$ τότε:\\

β1. Να βρείτε την τιμή του $\alpha.$

(Μονάδες 4)

β2. Για την τιμή του $\alpha$ που βρήκατε υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ ? Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

(Μονάδες 4)

γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του $\alpha$ οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ έχουν δύο σημεία τομής.

(Μονάδες 10)

Ύλη: 3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού, 4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1434 – Θέμα 4ο

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων το ευθύγραμμο τμήμα $ΑΒ$ με $Α(0, 100)$ και $Β(10, 50)$ παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\delta(x)$ των ετήσιων δαπανών μιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα $x$ χρόνια της λειτουργίας της. \\

To ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma \Delta$ με $\Gamma(0, 50)$ και $\Delta(10, 150)$ παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων $\epsilon(x)$ της εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα $x$ χρόνια της λειτουργίας της. Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα δέκα πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας.

α. Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιμήσετε τα έσοδα και τα έξοδα τον πέμπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας.

(Μονάδες 4)

β. Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων $\delta(x), ~\epsilon(x)$ και να ελέγξετε αν οι εκτιμήσεις σας στο (α’) ερώτημα ήταν σωστές.

(Μονάδες 15)

γ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των τμημάτων $ΑΒ$ και $\Gamma \Delta$ και να τις ερμηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήματος.

(Μονάδες 6)

Ύλη: 3.1 Εξισώσεις πρώτου βαθμού, 6.1 Η έννοια της συνάρτησης, 6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Εμφάνιση λύσης

1444 – Θέμα 4ο

Για δεδομένο $\grl \in \mathbb{R},$ θεωρούμε τη συνάρτηση $f,$ με $f(x) = (\grl + 1) x^2 - (\grl + 1) x + 2, ~x \in \mathbb{R}.$

α. Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του $\grl,$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διέρχεται από το σημείο $A(0, 2).$

(Μονάδες 3)

β. Για $\grl = -1,$ να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f.$

(Μονάδες 4)

γ. Αν η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $B(2, 0),$ να βρείτε την τιμή του $\grl$ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $x'x$ και σε άλλο σημείο.