Θεωρία - Α2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους (μέρος Β)

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Πως ορίζεται η δύναμη πραγματικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο;

Αν α πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός, έχουμε ορίσει ότι:

$\gra^v=\underbrace{\gra\cdot\gra \cdot \dots \dots \cdot \gra}_{v \text{ παράγοντες}} \text{ για } v>1$

Επιπλέον, ισχύει ότι $\gra^1=\gra$

Στην περίπτωση που $\gra\neq 0$ έχουμε:

$\gra^0=1$ και $\gra^{-v}=\dfrac{1}{\gra^v}$

Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο;

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται, ειναι οι εξής:

$\gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}=\gra^{\grk+\grl}$
$\dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grl}}=\gra^{\grk-\grl}$
$(\gra\cdot\grb)^{\grk}=\gra^{\grk}\cdot\gra^{\grl}$
$\left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{\grk}=\dfrac{\gra^{\grk}}{\gra^{\grk}}$
$\left(\gra^{\grk}\right)^{\grl}=\gra^{\grk\cdot\grl}$

Τι ορίζουμε ως ταυτότητα;

Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.

Ποιες είναι οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες;

Οι πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι:

$(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra-\grb)^2=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra+\grb)(\gra-\grb)=\gra^2-\grb^2$
$(\gra+\grb)^3=\gra^3+3\gra^2\grb+3\gra\grb^2+\grb^3$
$(\gra-\grb)^3=\gra^3-3\gra^2\grb+3\gra\grb^2-\grb^3$
$\gra^3+\grb^3=(\gra+\grb)(\gra^2-\gra\grb+\grb^2$
$\gra^3-\grb^3=(\gra-\grb)(\gra^2+\gra\grb+\grb^2$
$(\gra+\grb+\grg)^2=\gra^2+\grb^2+\grg^2+2\gra\grb+2\gra\grg+2\grb\grg$

Ποιες είναι οι βασικότερες μέθοδοι απόδειξης;

Οι μέθοδοι απόδειξης είναι η εξής:

α. Ευθεία απόδειξη: Ξεκινάμε με την υπόθεση (η οποία είναι αληθής) και με διαδοχικά βήματα (πράξεις ή σειρά λογικών (αληθών) προτάσεων) καταλήγουμε στο συμπέρασμα.

Παράδειγμα: Αν $\gra + \grb + \grg = 0,$ τότε $\gra^3 + \grb^3 + \grg^3 = 3\gra\grb\grg$

Εμφάνιση λύσης

Παραλλαγές της ευθείας απόδειξης:

Αρχίζουμε από το ένα μέλος (αυτό που έχει τις περισσότερες παραστάσεις), κάνουμε τις πράξεις και καταλήγουμε στο άλλο μέλος.

Παράδειγμα: Να αποδείξετε ότι: $(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$

Εμφάνιση λύσης

Κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη συγχρόνως και με τη χρήση ισοδυναμιών καταλήγουμε σε μια ισότητα που προφανώς αληθεύει.

Παράδειγμα: Να αποδείξετε ότι: $(\gra^2 + \grb^2)(x^2 + y^2) = (\gra x + \grb y)^2 + (\gra y - \grb x)^2$

Εμφάνιση λύσης

Λύνουμε την υπόθεση ως προς μια μεταβλητή και την αντικαθιστούμε στο ένα ή και στα δύο μέλη της ταυτότητας που θέλουμε να αποδείξουμε.

Παράδειγμα: Αν ισχύει $\gra-\grb=3,$ να αποδείξετε ότι $3\gra-\grb^2-3\grb+2\gra\grb=\gra^2$

Εμφάνιση λύσης

β. Aπαγωγή σε άτοπο: Yποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο.

Παράδειγμα: Αν ο $\gra^2$ είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός.

Εμφάνιση λύσης

γ. Με αντιπαράδειγμα: Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα.

Παράδειγμα: Να εξετάσετε αν για κάθε $α > 0$ ισχύει $\gra^2 > \gra.$