Θεωρία - Α2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους (μέρος Α)

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που έχουν (ή μπορούν να πάρουν) κλασματική μορφή, δηλαδή τη μορφή $\dfrac{\gra}{\grb},$ όπου α, β ακέραιοι, με $\grb\neq 0.$

Ιδιότητα: Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή.

Οι αριθμοί που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή $\dfrac{\gra}{\grb},$ όπου α, β ακέραιοι, με $\grb \neq 0$ (ή, με άλλα λόγια, δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί) λέγονται άρρητοι αριθμοί.

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πραγματικοί; Πως παριστάνονται;

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών, δηλαδή μιας ευθείας όπου σε κάθε σημείο της οποίας αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός.

Ποιες ιδιότητες ισχύουν στην πρόσθεση πραγματικών αριθμών;

Για την πρόσθεση πραγματικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα:

Πρόσθεση

Αντιμεταθετική: $\gra+\grb=\grb+\gra$
Προσεταιριστική: $\gra+(\grb+\grg) =(\gra+\grb)+\grg$
Ουδέτερο Στοιχείο: $\gra+0=\gra.$

Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμενος σε οποιονδήποτε αριθμό δεν τον μεταβάλλει.

Αντίθετος Αριθμού: $\gra+(-\gra)=0$

Ποιες ιδιότητες ισχύουν στον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών;

Για τον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα:

Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική: $\gra\cdot\grb=\grb\cdot\gra$
Προσεταιριστική: $\alpha\cdot(\grb\cdot\grg) =(\alpha\cdot\grb)\cdot\grg$
Ουδέτερο Στοιχείο: $\alpha\cdot 1=\alpha$
Αντίστροφος Αριθμού: $\alpha\cdot\dfrac{1}{\alpha}=1$ για $\alpha\neq 0$

Ο αριθμός 1 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, διότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με αυτόν δεν μεταβάλλεται.

Να διατυπώσετε την επιμεριστική ιδιότητα.

Για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ισχύει η \textbf{επιμεριστική} ιδιότητα:

$\gra(\grb+\gamma)=\gra\grb+\gra\grg$

Πως ορίζονται οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης;

Η αφαίρεση οριζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης ως εξής:
$\gra - \grb = \gra + (-\grb)$

Δηλαδή για να βρούμε τη διαφορά α – β , προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

Η διαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού ως εξής:
$\gra:\grb=\dfrac{\gra}{\grb}=\gra\cdot\dfrac{1}{\grb} \text{ με } \grb\neq 0$

Δηλαδή για να βρούμε το πηλίκο $\gra:\grb,$ με $\grb\neq 0$ , πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα;

Για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες:

$\left. \begin{array}{l} \alpha=\beta \\ \gamma=\delta \\ \end{array}\right\} \Rightarrow \alpha+\gamma=\beta+\delta$
$\left. \begin{array}{l} \alpha=\beta \\ \gamma=\delta \\ \end{array}\right\} \Rightarrow \alpha\cdot \gamma=\beta\cdot\delta$
$\gra=\grb\Leftrightarrow \gra+\grg=\grb+\grg$
$\gra = \grb\stackrel{\grg\neq0}{\Longleftrightarrow} \gra\cdot \grg=\grb\cdot \grg$
$\gra\cdot\grb=0\Leftrightarrow \gra=0 \text{ ή } \grb=0$
$\gra\cdot\grb\neq 0\Leftrightarrow \gra\neq 0 \text{ και } \grb\neq0$