Θεωρία - Α1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Μαθηματικά (Γ’ Γυμνασίου)

Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Να δώσετε ένα απλό παράδειγμα ταυτότητας;

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Παράδειγμα: η ισότητα $0\cdot \alpha =0.$

Να αναφέρετε τις βασικές (αξιοσημείωτες) ταυτότητες;

Ταυτότητες υπάρχουν πολλές, ορισμένες από αυτές τις συναντάμε πολύ συχνά και γι’ αυτό αξίζει να τις θυμόμαστε. Αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι οι εξής:

$(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra-\grb)^2=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2$
$(\gra+\grb)^3=\gra^3+3\gra^2\grb+3\gra\grb^2+\grb^3$
$(\gra-\grb)^3=\gra^3-3\gra^2\grb+3\gra\grb^2-\grb^3$
$(\gra+\grb)(\gra-\grb)=\gra^2-\grb^2$
$(\gra+\grb)(\gra^2-\gra\grb+\grb^2)=\gra^3+\grb^3$
$(\gra-\grb)(\gra^2+\gra\grb+\grb^2)=\gra^3-\grb^3$

Να αποδείξετε αλγεβρικά την ταυτότητα (τετράγωνο αθροίσματος):

$(\gra+\grb)^2=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2$

Θα ξεκινήσουμε από το α’ μέλος της ισότητας. Έτσι:

$\begin{align*} (\gra+\grb)^2 &=(\gra+\grb)(\gra+\grb)\\ &=\gra^2+\gra\grb +\gra\grb+\grb^2\\ &=\gra^2+2\gra\grb+\grb^2 \end{align*}$

Να αποδείξετε αλγεβρικά την ταυτότητα (τετράγωνο διαφοράς)

$(\gra-\grb)^2=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2$

Θα ξεκινήσουμε από το α’ μέλος της ισότητας. Έτσι:

$\begin{align*} (\gra-\grb)^2 &=(\gra-\grb)(\gra-\grb)\\ &=\gra^2-\gra\grb -\gra\grb+\grb^2\\ &=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2 \end{align*}$

Να αποδείξετε αλγεβρικά την ταυτότητα (κύβος αθροίσματος)

$(\gra+\grb)^3=\gra^3+3\gra^2\grb+3\gra\grb^2+\grb^3$

Θα ξεκινήσουμε από το α’ μέλος της ισότητας. Έτσι:

$\begin{align*} (\gra+\grb)^3 &=(\gra+\grb)^2(\gra+\grb)\\ &=(\gra^2+2\gra\grb+\grb^2)(\gra+\grb)\\ &=\gra^3+\gra^2\grb+2\gra^2\grb+2\gra\grb^2+\gra\grb^2+\grb^3\\ &= \gra^3+3\gra^2\grb+3\gra\grb^2+\grb^3 \end{align*}$

Να αποδείξετε αλγεβρικά την ταυτότητα (κύβος διαφοράς):

$(\gra-\grb)^3=\gra^3-3\gra^2\grb+3\gra\grb^2-\grb^3$

Θα ξεκινήσουμε από το α’ μέλος της ισότητας. Έτσι:

$\begin{align*} (\gra-\grb)^3 &=(\gra-\grb)^2(\gra-\grb)\\ &=(\gra^2-2\gra\grb+\grb^2)(\gra-\grb)\\ &=\gra^3-\gra^2\grb-2\gra^2\grb+2\gra\grb^2+\gra\grb^2-\grb^3\\ &= \gra^3-3\gra^2\grb+3\gra\grb^2-\grb^3 \end{align*}$