Θεωρία Α1.1 – Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (μέρος Α)

Μαθηματικά (Γ’ Γυμνασίου)

 Ποιος αριθμός λέγεται ρητός; 
 

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος \dfrac{\mu}{\nu}, όπου \mu,\nu ακέραιοι αριθμοί και \nu \neq 0.

Παράδειγμα: ρητοί είναι οι αριθμοί: 2=\dfrac{2}{1},\quad 3,21=\dfrac{321}{100}, \quad -\dfrac{1}{2}

 Ποιος αριθμός λέγεται άρρητος; 

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

Παράδειγμα: άρρητοι είναι οι αριθμοί: \sqrt{2}, \quad 3,21213..., \quad \pi, \quad \dfrac{\sqrt{3}}{4}

 Ποιους αριθμούς ονομάζουμε πραγματικούς; Πως μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς γραφικά; 
 

Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

Κάθε πραγματικός αριθμός παριστάνεται μ´ ένα σημείο πάνω σ´ έναν άξονα.

 Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός αριθμού; 

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα.

Παράδειγμα: |− 2| = 2, |2| = 2, |0| = 0, \left| -\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}

 Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικών αριθμών. 

– Πρόσθεση –

  • \alpha+\beta=\beta +\alpha   (Αντιμεταθετική)
  • \alpha+(\beta+\gamma) =(\alpha+\beta)+\gamma (Προσεταιριστική)
  • \alpha +0=\alpha  (Ουδέτερο στοιχείο)
  • \alpha +(-\alpha)=0  (Αντίθετοι αριθμοί)

– Πολλαπλασιασμός –

  • \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha  (Αντιμεταθετική)
  • \alpha\cdot (\beta\cdot\gamma) =(\alpha\cdot\beta)\cdot \gamma (Προσεταιριστική)
  • \alpha\cdot 1 =\alpha (Ουδέτερο στοιχείο)
  • \alpha\cdot \dfrac{1}{\alpha}=1 (Αντίστροφοι αριθμοί)

 Να γράψετε την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. 

Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση είναι:

    \[\alpha\cdot (\beta+\gamma) =\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot \gamma\]

Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση είναι:

    \[\alpha\cdot (\beta-\gamma) =\alpha\cdot\beta-\alpha\cdot \gamma\]

Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι:

  • \alpha\cdot 0 =0
  • Αν \alpha\cdot \beta =\0, τότε \alpha = 0 ή \beta = 0.
  • Αν \gra\cdot \grb \neq 0, τότε \gra\neq 0 και \grb\neq 0.
 Πως ορίζονται οι πράξεις της αφαίρεσης και τη διαίρεσης μεταξύ πραγματικών αριθμών; 

Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης γίνονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως. Δηλαδή,

  •  \alpha -\beta = \alpha + (-\beta)
  • \gra :\grb=\gra\cdot\dfrac{1}{\grb} ή ισοδύναμα \dfrac{\gra}{\grb}=\gra\cdot\dfrac{1}{\grb}

 

Please follow and like us: