Θεωρία Α1.1 - Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (μέρος Α)

Μαθηματικά (Γ’ Γυμνασίου)

Ποιος αριθμός λέγεται ρητός;

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος $\dfrac{\mu}{\nu},$ όπου $\mu,\nu$ ακέραιοι αριθμοί και $\nu \neq 0$ .

Παράδειγμα: ρητοί είναι οι αριθμοί: $2=\dfrac{2}{1},\quad 3,21=\dfrac{321}{100}, \quad -\dfrac{1}{2}$

Ποιος αριθμός λέγεται άρρητος;

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

Παράδειγμα: άρρητοι είναι οι αριθμοί: $\sqrt{2}, \quad 3,21213..., \quad \pi, \quad \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Ποιους αριθμούς ονομάζουμε πραγματικούς; Πως μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς γραφικά;

Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

Κάθε πραγματικός αριθμός παριστάνεται μ´ ένα σημείο πάνω σ´ έναν άξονα.

Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός αριθμού;

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με $|α|$ και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα.

Παράδειγμα: $|− 2| = 2, |2| = 2, |0| = 0, \left| -\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$

Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικών αριθμών.

– Πρόσθεση –

$\alpha+\beta=\beta +\alpha$ (Αντιμεταθετική)
$\alpha+(\beta+\gamma) =(\alpha+\beta)+\gamma$ (Προσεταιριστική)
$\alpha +0=\alpha$ (Ουδέτερο στοιχείο)
$\alpha +(-\alpha)=0$ (Αντίθετοι αριθμοί)

– Πολλαπλασιασμός –

$\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha$ (Αντιμεταθετική)
$\alpha\cdot (\beta\cdot\gamma) =(\alpha\cdot\beta)\cdot \gamma$ (Προσεταιριστική)
$\alpha\cdot 1 =\alpha$ (Ουδέτερο στοιχείο)
$\alpha\cdot \dfrac{1}{\alpha}=1$ (Αντίστροφοι αριθμοί)