Θεωρία – Α6.3 Η συνάρτηση f(x)=αx+β (μέρος Β)

Τι παριστάνει η ευθεία f (x) = \alpha\cdot x + \beta

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = \alpha \cdot x + \beta είναι μία ευθεία, με εξίσωση y= \alpha\cdot x + \beta, η οποία τέμνει τον άξονα των y'y στο σημείο B(0,\beta) και έχει κλίση \grl = \alpha. Είναι φανερό ότι:

  • αν \alpha > 0,  τότε 0^{\circ} < \grv < 90^{\circ}
  • αν \alpha < 0, τότε 90^{\circ} < \grv < 180^{\circ}
  • αν \alpha = 0, τότε \grv = 0^{\circ}.

Στην περίπτωση που είναι \alpha = 0,  η συνάρτηση παίρνει την μορφή f(x) = \beta και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε x\in \mathbb{R}.

Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης \grl μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(x_1,y_1) και B(x_2,y_2).

 

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(x_1,y_1) και B(x_2,y_2) της ευθείας y = \alpha x + \beta.

Τότε θα ισχύει:

y_1 = \alpha\cdot x_1 + \beta και y_2 = \alpha\cdot x_2 + \beta.

οπότε θα έχουμε:

    \[y_2-y_1 = (\alpha\cdot x_2 + \beta) - (\alpha\cdot x_1 + \beta) = \alpha\cdot (x_2 - x_1).\]

Επομένως θα είναι:

    \[\grl=\dfrac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}\]

Τι παριστάνει η ευθεία f (x) = \alpha\cdot x;

Αν \beta = 0, τότε η f παίρνει τη μορφή f(x) = \alpha \cdot x,  οπότε η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y = \alpha \cdot x και περνάει από την αρχή των αξόνων. Ειδικότερα:

  • Για \alpha  = 1 έχουμε την ευθεία y = x. Για τη γωνία \grv, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα x'x, ισχύει εφω = α = 1, δηλαδή \grv = 45^{\circ}. Επομένως, η ευθεία y = x είναι η διχοτόμος των γωνιών \hat{xOy} και \hat{x'Oy'}   των αξόνων.
  • Για \alpha  = -1 έχουμε την ευθεία y = -x.  Για τη γωνία \grv, που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα x'x, ισχύει εφω = α = -1, δηλαδή \grv = 135^{\circ}. Επομένως, η ευθεία y = -x είναι η διχοτόμος των γωνιών \hat{yOx'} και \hat{y'Ox} των αξόνων.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της f(x)=|x|;

Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε:

    \[f(x)=|x|=\left\{\begin{aligned}-x, & \text { \alphav } x<0 \\ x, & \text { \alphav } x \geq 0 \end{aligned}\right.\]

Επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) =|x| αποτελείται από τις δύο ημιευθείες:

  • y = -x, με x \leq 0 και
  • y = x, με x>0

που διχοτομούν τις γωνίες \hat{x'Oy} και  \hat{xOy} αντιστοίχως.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθείων;

Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες \gre_1 και \gre_2 με εξισώσεις

y = \alpha_1\cdot x + \beta_1 και y = \alpha_2\cdot x + \beta_2

 αντιστοίχως και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x  γωνίες \grv_1 και \grv_2 αντιστοίχως.

  • Αν \alpha_1 = \alpha_2, τότε εφω1 = εφω2, οπότε \grv_1 = \grv_2 και άρα οι ευθείες \gre_1 και \gre_2 είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Ειδικότερα :
    • Αν \alpha_1 = \alpha_2  και  \beta_1 \neq \beta_2, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Σχ. α’), ενώ
    • Αν  \alpha_1 = \alpha_2  και  \beta_1 =\beta_2, τότε οι ευθείες ταυτίζονται.
  • Αν \alpha_1 \neq \alpha_2, τότε εφω1εφω2, οπότε \grv_1 \neq \grv_2  και άρα οι ευθείες \gre_1 και \gre_2  τέμνονται. (Σχ. β’)

 


Πηγή: Άλγεβρα Α Λυκείου – Α6.3 Η έννοια της συνάρτησης (link)

Please follow and like us: