Θεωρία - Α6.3 Η συνάρτηση f(x)=αx+β (μέρος Β)

Τι παριστάνει η ευθεία $f (x) = \alpha\cdot x + \beta$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x) = \alpha \cdot x + \beta$ είναι μία ευθεία, με εξίσωση $y= \alpha\cdot x + \beta$ , η οποία τέμνει τον άξονα των $y'y$ στο σημείο $B(0,\beta)$ και έχει κλίση $\grl = \alpha.$ Είναι φανερό ότι:

αν $\alpha > 0,$ τότε $0^{\circ} < \grv < 90^{\circ}$
αν $\alpha < 0,$ τότε $90^{\circ} < \grv < 180^{\circ}$
αν $\alpha = 0,$ τότε $\grv = 0^{\circ}.$

Στην περίπτωση που είναι $\alpha = 0,$ η συνάρτηση παίρνει την μορφή $f(x) = \beta$ και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε $x\in \mathbb{R}.$

Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης $\grl$ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2).$

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία $A(x_1,y_1)$ και $B(x_2,y_2)$ της ευθείας $y = \alpha x + \beta.$

Τότε θα ισχύει:

$y_1 = \alpha\cdot x_1 + \beta$ και $y_2 = \alpha\cdot x_2 + \beta.$

οπότε θα έχουμε:

$y_2-y_1 = (\alpha\cdot x_2 + \beta) - (\alpha\cdot x_1 + \beta) = \alpha\cdot (x_2 - x_1).$

Επομένως θα είναι:

$\grl=\dfrac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}$

Τι παριστάνει η ευθεία $f (x) = \alpha\cdot x$ ;

Αν $\beta = 0,$ τότε η $f$ παίρνει τη μορφή $f(x) = \alpha \cdot x,$ οπότε η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία $y = \alpha \cdot x$ και περνάει από την αρχή των αξόνων. Ειδικότερα:

Για $\alpha = 1$ έχουμε την ευθεία $y = x.$ Για τη γωνία $\grv,$ που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα $x'x,$ ισχύει εφω = α = 1, δηλαδή $\grv = 45^{\circ}.$ Επομένως, η ευθεία $y = x$ είναι η διχοτόμος των γωνιών $\hat{xOy}$ και $\hat{x'Oy'}$ των αξόνων.

Για $\alpha = -1$ έχουμε την ευθεία $y = -x.$ Για τη γωνία $\grv,$ που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα $x'x,$ ισχύει εφω = α = -1, δηλαδή $\grv = 135^{\circ}.$ Επομένως, η ευθεία $y = -x$ είναι η διχοτόμος των γωνιών $\hat{yOx'}$ και $\hat{y'Ox}$ των αξόνων.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της $f(x)=|x|$ ;

Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε:

$f(x)=|x|=\left\{\begin{aligned}-x, & \text { \alphav } x<0 \\ x, & \text { \alphav } x \geq 0 \end{aligned}\right.$

Επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) =|x|$ αποτελείται από τις δύο ημιευθείες:

$y = -x,$ με $x \leq 0$ και
$y = x,$ με $x>0$

που διχοτομούν τις γωνίες $\hat{x'Oy}$ και $\hat{xOy}$ αντιστοίχως.

Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο ευθείων;

Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες $\gre_1$ και $\gre_2$ με εξισώσεις

$y = \alpha_1\cdot x + \beta_1$ και $y = \alpha_2\cdot x + \beta_2$

αντιστοίχως και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα $x'x$ γωνίες $\grv_1$ και $\grv_2$ αντιστοίχως.

Αν $\alpha_1 = \alpha_2,$ τότε εφω₁ = εφω₂, οπότε $\grv_1 = \grv_2$ και άρα οι ευθείες $\gre_1$ και $\gre_2$ είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Ειδικότερα :