Θεωρία - Α6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Πως γίνεται η παράσταση ενός σημείου του επιπέδου;

Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες $x'x$ και $y'y$ με κοινή αρχή ένα σημείο Ο. Από αυτούς ο οριζόντιος $x'x$ λέγεται άξονας των τετμημένων ή άξονας των x, ενώ ο κατακόρυφος $y'y$ άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y.

Τότε, σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου των αξόνων μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος $(\alpha, \beta)$ πραγματικών αριθμών και αντιστρόφως, σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος $(\alpha, \beta)$ ) πραγματικών αριθμών, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου.

Το παραπάνω ζεύγος των αξόνων το λέμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε Οxy , ενώ το επίπεδο στο οποίο ορίστηκε το σύστημα αυτό το λέμε καρτεσιανό επίπεδο. Αν επιπλέον οι μονάδες των αξόνων έχουν το ίδιο μήκος, το σύστημα Οxy λέγεται ορθοκανονικό.

Πως ονομάζονται οι αριθμοί α, β ενός σημείου Μ(α,β);

Οι αριθμοί α, β λέγονται συντεταγμένες του Μ. Ειδικότερα ο α λέγεται τετμημένη και ο β τεταγμένη του σημείου Μ. Το σημείο Μ που έχει συντεταγμένες α και β συμβολίζεται με Μ(α, β) ή, απλά, με (α, β).

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε την αναπαράσταση του σημείου Μ(-3,2). Ο αριθμός -3 είναι η τετμημένη του Μ και ο αριθμός 2 είναι η τεταγμένη του Μ.

Ιστορικά στοιχεία: Η ιδέα της χρησιμοποίησης ζευγών για την παράσταση σημείων του επιπέδου ανήκει στον Καρτέσιο, Γάλλο φιλόσοφο και μαθηματικό. (link)

Πως ορίζονται τα τεταρτημόρια σε ένα καρτεσιανό σύστημα Oxy συντεταγμένων στο επίπεδο; Τι ισχύει για τα πρόσημα των συντεταγμένων;

Έστω ένα καρτεσιανό σύστημα Oxy συντεταγμένων στο επίπεδο. Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια, που είναι τα εσωτερικά των γωνιών $\hat{xOy},\hat{yox'},\hat{x'Oy'}, \hat{y'Ox}$ και ονομάζεται 1o, 2o, 3o και 4o, τεταρτημόριο, αντιστοίχως. Τα πρόσημα των συντεταγμένων των σημείων τους φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Πως ορίζονται οι συμμετρίες ενός σημείου Α(α,β) του καρτεσιανού επιπέδου α) ως προς τους άξονες β) ως προς την αρχή των αξόνων γ) ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων;

Έστω Α (α, β) ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, Τότε:

Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα x’x είναι το σημείο Δ (α,-β), που έχει ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη (Σχ. α’).

Το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y’y είναι το σημείο Β(-α,β), που έχει ίδια τεταγμένη και αντίθετη τετμημένη (Σχ. α’).

Το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Γ (-α,-β), που έχει αντίθετες συντεταγμένες (Σχ. α’).

Το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων είναι το σημείο Α'(β,α) που έχει τετμημένη την τεταγμένη του Α και τεταγμένη την τετμημένη του Α (Σχ. β’).

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x₁,y₁) και Β(x₂,y₂) δύο σημεία αυτού. Να αποδείξετε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο:

$(A B)=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑΒ του παρακάτω σχήματος έχουμε:

$\begin{aligned}(\mathrm{AB})^{2} &=(\mathrm{KA})^{2}+(\mathrm{KB})^{2} \\ &=\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right|^{2} \\ &=\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2} \end{aligned}$

οπότε:

$(\mathrm{AB})=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}$

Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που το ΑΒ είναι παράλληλο με τον άξονα $x'x$ ή παράλληλο με τον άξονα $y'y.$

Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων $M (x, y)$ για τα οποία ισχύει $y = f(x),$ δηλαδή το σύνολο των σημείων $M (x, f(x)), x\in A,$ λέγεται γραφική παράσταση της $f$ και συμβολίζεται συνήθως με $C_f$ .

Ποια ιδιότητα έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και γραφική παράσταση ε $C_f$ . Τότε η εξίσωση της $y = f(x)$ επαληθεύεται από τα σημεία της $C_f$ και μόνο από αυτά. Επομένως, η $y = f(x)$ είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της $f.$

Για το λόγο αυτό, τη γραφική παράσταση $C_f$ της $f$ τη συμβολίζουμε, πολλές φορές, απλά με την εξίσωσή της, δηλαδή με $y = f(x).$

Είναι ο κύκλος γραφική παράσταση συνάρτησης;

Επειδή κάθε $x\in A$ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο $y \in \mathbb{R} ,$ δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της $f$ το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. α’). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ. β’).

Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ πως μπορούμε να σχεδιάσουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $-f$ ;

Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $-f,$ παίρνοντας τη συμμετρική της γραφικής παράστασης της $f$ ως προς τον άξονα $x'x$ και τούτο διότι η γραφική παράστασης της $-f$ αποτελείται από τα σημεία $M'(x,-f(x))$ που είναι συμμετρικά των σημείων $M(x, f(x))$ της γραφικής παράστασης της $f$ ως προς τον άξονα $x'x$ .