Θεωρία – Α.7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Μαθηματικά (B’ Γυμνασίου)

Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη ακέραιο

Παράδειγμα 1:  

    \begin{align*} 5^0&=5^{4-4} \quad (*)\\ &=\dfrac{5^{4}}{5^{4}} \quad (**)\\ &=1 \end{align*}

(*) Ο αριθμός 4 επιλέχτηκε τυχαία

(**) Ιδιότητα κλασμάτων : \dfrac{\alpha}{\alpha}=1

Γενικότερα, η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με μονάδαΔηλαδή:

    \[\alpha ^{0}=1\]


Παράδειγμα 2:  

Έχουμε ότι:

\dfrac{12^5}{12^8} =12^{5-8}=12^{-3} αφού \dfrac{\alpha^{\grm}}{\alpha^v}=\alpha^{\grm-v}

και:

    \begin{align*} \dfrac{12^5}{12^8} &=\dfrac{\underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 5~\text{παράγoντες}}}{ \underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 8~\text{παράγoντες}}}\\ &=\dfrac{ 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}\\ &=\dfrac{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}}{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12} \cdot 12\cdot 12\cdot 12}\\ &=\dfrac{1}{12^3} \end{align*}

Άρα, 12^{-3}=\dfrac{1}{12^3}

Γενικότερα, η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη. Δηλαδή:

    \[\alpha^{-v}=\dfrac{1}{\alpha^v}\]

Επειδή τα  \dfrac{\alpha}{\beta} και \dfrac{\beta}{\alpha} είναι αντίστροφοι αριθμοί, όπως και τα \alpha και \dfrac{1}{\alpha} στην προηγούμενη σχέση, εξάγουμε το συμπέρασμα ότι ισχύει:

    \[\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{-v}=\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{v}\]


Πηγή: Σχολικό βιβλίο Α Γυμνασίου – Ενότητα: Α.7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη  ακέραιο  (link)

Please follow and like us: