Θεωρία - Α.7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Μαθηματικά (B’ Γυμνασίου)

Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη ακέραιο

Παράδειγμα 1:

$\begin{align*} 5^0&=5^{4-4} \quad (*)\\ &=\dfrac{5^{4}}{5^{4}} \quad (**)\\ &=1 \end{align*}$

(*) Ο αριθμός 4 επιλέχτηκε τυχαία

(**) Ιδιότητα κλασμάτων : $\dfrac{\alpha}{\alpha}=1$

Γενικότερα, η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με μονάδα. Δηλαδή:

$\alpha ^{0}=1$

Παράδειγμα 2:

Έχουμε ότι:

$\dfrac{12^5}{12^8} =12^{5-8}=12^{-3}$ αφού $\dfrac{\alpha^{\grm}}{\alpha^v}=\alpha^{\grm-v}$

και:

$\begin{align*} \dfrac{12^5}{12^8} &=\dfrac{\underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 5~\text{παράγoντες}}}{ \underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 8~\text{παράγoντες}}}\\ &=\dfrac{ 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}\\ &=\dfrac{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}}{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12} \cdot 12\cdot 12\cdot 12}\\ &=\dfrac{1}{12^3} \end{align*}$

Άρα, $12^{-3}=\dfrac{1}{12^3}$

Γενικότερα, η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός, με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη. Δηλαδή:

$\alpha^{-v}=\dfrac{1}{\alpha^v}$

Επειδή τα $\dfrac{\alpha}{\beta}$ και $\dfrac{\beta}{\alpha}$ είναι αντίστροφοι αριθμοί, όπως και τα $\alpha$ και $\dfrac{1}{\alpha}$ στην προηγούμενη σχέση, εξάγουμε το συμπέρασμα ότι ισχύει: