Θεωρία - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό (μέρος Β)

Μαθηματικά (B’ Γυμνασίου)

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση; Δώστε ένα παράδειγμα.

Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. Δηλαδή:

$\alpha^{\grm}\cdot \alpha^v=\alpha^{\grm+v}$

Παράδειγμα 1: $12^{8}\cdot 12^5=12^{8+5}=12^{13}$

Παράδειγμα 1 (αναλυτικά):

$\begin{align*} 12^{8}\cdot 12^5 &=\underbrace{12 \cdot 8 \dotsc \cdot 12}_{ 8~\text{παράγoντες} } \cdot \underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 5~\text{παράγoντες} }\\ &=\underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 13~\text{παράγoντες} }\\ &=12^{13} \end{align*}$

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια βάση; Δώστε ένα παράδειγμα.

Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. Δηλαδή:

$\alpha^{\grm}:\alpha^v=\dfrac{\alpha^{\grm}}{\alpha^{v}}=\alpha^{\grm-v}$

Παράδειγμα 2: $12^{8}: 12^5=12^{8-5}=12^{3}$

Παράδειγμα 2 (αναλυτικά):

$\begin{align*} 12^{5}: 12^8&=\dfrac{12^8}{12^5} \\ &=\dfrac{\underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 8~\text{παράγoντες} }}{ \underbrace{12 \cdot 12 \dotsc \cdot 12}_{ 5~\text{παράγoντες} }}\\ &=\dfrac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}{ 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}\\ &=\dfrac{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12} \cdot 12\cdot 12\cdot 12}{\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}\cdot\cancel{12}}\\ &=\underbrace{12 \cdot 12 \cdot 12}_{ 3~\text{παράγoντες} }\\ &=12^{3} \end{align*}$

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως υψώνουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη; Δώστε ένα παράδειγμα.

Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό. Δηλαδή:

$(\alpha\cdot \beta)^{v}=\alpha^{v}\cdot \beta^v$

Παράδειγμα 3: $(5\cdot 8)^{12} =5^{12}\cdot8^{12}$

Παράδειγμα 3 (αναλυτικά):

$\begin{align*} (5\cdot 8)^{12} &=\underbrace{(5\cdot 8) \cdot (5\cdot 8) \dotsc \cdot (5\cdot 8)}_{ 12~\text{παράγoντες} }\\ &=\underbrace{(5 \cdot 5 \dotsc \cdot 5)}_{ 12~\text{παράγoντες} }\cdot \underbrace{(8 \cdot 8 \dotsc \cdot 8)}_{ 12~\text{παράγoντες} }\\ &=5^{12}\cdot8^{12} \end{align*}$

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως υψώνουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη; Δώστε ένα παράδειγμα.

Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.

Δηλαδή:

$(\alpha: \beta)^{v}=\alpha^{v}: \beta^v$ ή, ισοδύναμα $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{v}=\dfrac{\alpha^{v}}{\beta^v}$

Παράδειγμα 4: $(5: 8)^{12}=\left(\dfrac{5}{8}\right)^{12}= \dfrac{5^{12}}{8^{12}}$

Παράδειγμα 4 (αναλυτικά):

$\begin{align*} (5: 8)^{12} &=\left(\dfrac{5}{8}\right)^{12}\\ &=\underbrace{\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{5}{8} \dotsc \cdot \dfrac{5}{8}}_{ 12~\text{παράγoντες} }\\ &=\dfrac{\underbrace{5 \cdot 5 \dotsc \cdot 5}_{ 12~\text{παράγoντες} }}{ \underbrace{8 \cdot 8 \dotsc \cdot 8}_{ 12~\text{παράγoντες} }}\\ &=\dfrac{5^{12}}{8^{12}} \end{align*}$

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως ορίζεται η η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν; Δώστε ένα παράδειγμα.

Γενικότερα, η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με μονάδα. Δηλαδή:

$\alpha ^{0}=1 ~\text{με} ~ \alpha\neq 0$

Παράδειγμα 5: $2021^{0}=1$

Ιδιότητες δυνάμεων: Πως υψώνουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη;

Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών. Δηλαδή:

$(\alpha ^{\grm})^{v}=\alpha^{\grm\cdot v}$

Παράδειγμα 6: $\left(5^8\right)^{12} =5^{8\cdot12}=5^{96}$

Παράδειγμα 6 (αναλυτικά):

$\begin{align*} \left(5^8\right)^{12} &=\underbrace{5^8 \cdot 5^8 \dotsc \cdot 5^8}_{ 12~\text{παράγoντες} }\\ &=5^\underbrace{8 +8 \dotsc +8}_{ 12~\text{oρoι} }\\ &=5^{8\cdot12}\\ &=5^{96} \end{align*}$

Please follow and like us:

Θεωρία – Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό (μέρος Β)

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Θεωρία – Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

Θεωρία – Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Θεωρία – Α.7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας