Θεωρία – Α3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Μαθηματικά (Γ’ Γυμνασίου)

Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους; Πως ορίζεται η λύση αυτής;

Μια εξίσωση της μορφής

 \gra x + \grb y = \grg

λέγεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x και y.

Λύση της παραπάνω εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος αριθμών (x,y) που την επαληθεύει.

Ποια είναι η γενική εξίσωση της ευθείας;

Μια εξίσωση της μορφής

\gra x + \grb y = \grg, με \gra\neq0 ή \grb\neq0

παριστάνει ευθεία.

Η εξίσωση της ευθείας έχει άπειρες λύσεις.

 

Πως συνδέονται οι συντεταγμένες ενός σημείου με την εξίσωση της ευθείας;

  • Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
  • Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

Να δικαιολογήσετε γιατί μία εξίσωση της μορφής

\gra x + \grb y = \grg, με \gra=0 και \grb=0

δεν παριστάνει ευθεία.

  • Αν \grg= 0, τότε η εξίσωση γίνεται

        \[0 x + 0 y = 0.\]

    Τότε, η εξίσωση είναι αόριστη και τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται αναγκαστικά στην ίδια ευθεία.

Άρα η εξίσωση 0 x + 0 y = 0 δεν παριστάνει ευθεία.

  • Αν \grg\neq0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (π.χ. 0x+0y=2) αφού κανένα ζεύγος αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της, άρα δεν παριστάνει ευθεία.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης y=\gra x;

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = αx είναι μία  ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

O λόγος \dfrac{y}{x} είναι σταθερός, δηλαδή \dfrac{y}{x}=\gra και ο αριθμός α λέγεται κλίση της ευθείας y =\gra x.

Ειδική περίπτωση: Αν α=0, τότε η ευθεία είναι η y=0 και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας x'x.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης y=\gra x+\grb;

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης

    \[y = \gra x + \grb, \quad \grb \neq 0\]

είναι μια ευθεία, η οποία είναι παράλληλη της ευθείας με εξίσωση y = \gra x, που διέρχεται από το σημείο (0, \beta) του άξονα y'y.

Ο αριθμός α, που, όπως γνωρίζουμε, λέγεται κλίση της ευθείας y = \alpha x, λέγεται και κλίση της ευθείας y = \alpha x + \beta.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης y=\grk;

  • Αν \grk\neq 0, η εξίσωση y = \grk παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο (0, \grk)
  • Αν \grk=0, η εξίσωση y = \grk γράφεται y = 0 και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας x'x.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης x=\grk;

  •  Αν \grk\neq 0, η εξίσωση x = \grk παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y'y και τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο (\grk, 0).
  • Αν \grk=0, η εξίσωση x = \grk γράφεται x = 0 και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας y'y

 

Please follow and like us: