Θεωρία - Α3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Μαθηματικά (Γ’ Γυμνασίου)

Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους; Πως ορίζεται η λύση αυτής;

Μια εξίσωση της μορφής

$\gra x + \grb y = \grg$

λέγεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους x και y.

Λύση της παραπάνω εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος αριθμών $(x,y)$ που την επαληθεύει.

Ποια είναι η γενική εξίσωση της ευθείας;

Μια εξίσωση της μορφής

$\gra x + \grb y = \grg,$ με $\gra\neq0$ ή $\grb\neq0$

παριστάνει ευθεία.

Η εξίσωση της ευθείας έχει άπειρες λύσεις.

Πως συνδέονται οι συντεταγμένες ενός σημείου με την εξίσωση της ευθείας;

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

Να δικαιολογήσετε γιατί μία εξίσωση της μορφής

$\gra x + \grb y = \grg,$ με $\gra=0$ και $\grb=0$

δεν παριστάνει ευθεία.

Αν $\grg= 0,$ τότε η εξίσωση γίνεται
$0 x + 0 y = 0.$

Τότε, η εξίσωση είναι αόριστη και τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται αναγκαστικά στην ίδια ευθεία.

Άρα η εξίσωση $0 x + 0 y = 0$ δεν παριστάνει ευθεία.

Αν $\grg\neq0,$ τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (π.χ. $0x+0y=2$ ) αφού κανένα ζεύγος αριθμών $(x, y)$ δεν είναι λύση της, άρα δεν παριστάνει ευθεία.

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης $y=\gra x$ ;

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

O λόγος $\dfrac{y}{x}$ είναι σταθερός, δηλαδή $\dfrac{y}{x}=\gra$ και ο αριθμός α λέγεται κλίση της ευθείας $y =\gra x.$

Ειδική περίπτωση: Αν α=0, τότε η ευθεία είναι η $y=0$ και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας $x'x.$

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης $y=\gra x+\grb$ ;

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης

$y = \gra x + \grb, \quad \grb \neq 0$

είναι μια ευθεία, η οποία είναι παράλληλη της ευθείας με εξίσωση $y = \gra x,$ που διέρχεται από το σημείο $(0, \beta)$ του άξονα $y'y$ .

Ο αριθμός α, που, όπως γνωρίζουμε, λέγεται κλίση της ευθείας $y = \alpha x$ , λέγεται και κλίση της ευθείας $y = \alpha x + \beta$ .

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης $y=\grk$ ;

Αν $\grk\neq 0,$ η εξίσωση $y = \grk$ παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, \grk)$
Αν $\grk=0,$ η εξίσωση $y = \grk$ γράφεται $y = 0$ και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας $x'x$ .

Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης $x=\grk$ ;

Αν $\grk\neq 0,$ η εξίσωση $x = \grk$ παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $(\grk, 0).$
Αν $\grk=0,$ η εξίσωση $x = \grk$ γράφεται $x = 0$ και η γραφική της παράσταση είναι ο άξονας $y'y$

Please follow and like us:

Θεωρία – Α3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης