Θεωρία - Β2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

Μαθηματικά (Β’ Γυμνασίου)

Δικαιολογήστε γιατί όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε αυξάνεται το ημίτονό της.

Σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ, ΟΓΖ, με σταθερή υποτείνουσα R = ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ και θεωρούμε τρεις γωνίες

$\grv<\grf<\gru$

Παρατηρούμε ότι

$\grA\grD<\grB\grE<\grG\grZ$

Επομένως, διαιρώντας με R έχουμε ότι

$\dfrac{\grA\grD}{R}<\dfrac{\grB\grE}{R}<\dfrac{\grG\grZ}{R}$

Οι παραπάνω λόγοι είναι τα ημίτονα των γωνιών ω, φ, θ αντίστοιχα, άρα

$\hm\grv<\hm\grf<\hm\gru$

Δείξαμε λοιπόν ότι

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε αυξάνεται το ημίτονό της.

Δικαιολογήστε γιατί όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε ελαττώνεται το συνημίτονό της.

$\grv<\grf<\gru$

Παρατηρούμε ότι

$Ο\grD>Ο\grE>Ο\grZ$

Επομένως, διαιρώντας με R έχουμε ότι

$\dfrac{Ο\grD}{R}>\dfrac{Ο\grE}{R}>\dfrac{Ο\grZ}{R}$

Οι παραπάνω λόγοι είναι τα συνημίτονα των γωνιών ω, φ, θ αντίστοιχα, άρα

$\syn\grv>\syn\grf>\syn\gru$

ή γράφοντας την ανισότητα διαφορετικά,

$\syn\gru<\syn\grf<\syn\grv$

Δείξαμε λοιπόν ότι

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε ελαττώνεται το συνημίτονό της.

Δικαιολογήστε γιατί όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε αυξάνεται η εφαπτομένη της.

Ας θεωρήσουμε ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ, ΟΑΔ με σταθερή τη μία κάθετη πλευρά ΟΑ και ορθή τη γωνία $\widehat{\grA}.$

Παρατηρούμε ότι, όταν η οξεία γωνία με κορυφή το σημείο Ο μεγαλώνει, δηλαδή

$\grv<\grf<\gru,$

τότε μεγαλώνει αντίστοιχα η απέναντι κάθετη πλευρά, δηλαδή

$\grA\grB<\grA\grG<\grA\grD$

Επομένως, διαιρώντας με $O\grA$ έχουμε ότι

$\dfrac{\grA\grB}{O\grA}<\dfrac{\grA\grG}{O\grA}<\dfrac{\grA\grD}{O\grA}$

Οι παραπάνω λόγοι είναι οι εφαπτομένες των γωνιών ω, φ, θ αντίστοιχα, άρα

$\ef\grv<\ef\grf<\ef\gru$

Δείξαμε λοιπόν ότι

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε αυξάνεται η εφαπτομένη της.

Ποιες ιδιότητες προκύπτουν από τις μεταβολές των τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών;

Από τις μεταβολές των τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών προκύπτει ότι:

Please follow and like us:

Θεωρία – Β2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης