Θεωρία – Β2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Μαθηματικά (Β’ Γυμνασίου)

Πως ορίζεται το ημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

Δηλαδή,

    \[\hm\grv=\dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}\]

 

Πως ορίζεται το συνημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω.

Δηλαδή,

    \[\syn\grv=\dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}\]

 

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας;

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οξεία γωνία \hat{\grv}. Τότε

 \hm\grv=\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}} και \syn\grv=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές, οπότε:

  • \text{ΑΓ}<\text{ΒΓ} άρα  \dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}<1 οπότε \hm\grv<1
  • \text{ΑΒ}<\text{ΒΓ} άρα  \dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}<1 οπότε \syn\grv<1

Επειδή τα μήκη των πλευρών είναι θετικοί αριθμοί, ισχύει ότι \hm\grv>0 και \syn\grv>0

Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις

    \[0<\hm\grv<1 \text{ και } 0<\syn\grv<1\]

Να αποδείξετε ότι \ef \grv=\dfrac{\hm\grv}{\syn\grv}

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οξεία γωνία \hat{\grv}. Τότε

\hm\grv=\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}},  \syn\grv=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}} και \ef \grv =\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΑΓ}}

Έχουμε

    \[\dfrac{\hm\grv}{\syn\grv}= \dfrac{\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}}{\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}} =\dfrac{\text{ΑΒ}\cdot\text{ΒΓ}}{\text{ΑΓ}\cdot\text{ΒΓ}}=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΑΓ}}=\ef \grv\]

 

Please follow and like us: