Θεωρία - Β2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Μαθηματικά (Β’ Γυμνασίου)

Πως ορίζεται το ημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

Δηλαδή,

$\hm\grv=\dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$

Πως ορίζεται το συνημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο;

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω.

Δηλαδή,

$\syn\grv=\dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας;

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οξεία γωνία $\hat{\grv}$ . Τότε

$\hm\grv=\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}$ και $\syn\grv=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}$

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές, οπότε:

$\text{ΑΓ}<\text{ΒΓ}$ άρα $\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}<1$ οπότε $\hm\grv<1$
$\text{ΑΒ}<\text{ΒΓ}$ άρα $\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}<1$ οπότε $\syn\grv<1$

Επειδή τα μήκη των πλευρών είναι θετικοί αριθμοί, ισχύει ότι $\hm\grv>0$ και $\syn\grv>0$

Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις

$0<\hm\grv<1 \text{ και } 0<\syn\grv<1$

Να αποδείξετε ότι $\ef \grv=\dfrac{\hm\grv}{\syn\grv}$

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με οξεία γωνία $\hat{\grv}.$ Τότε

$\hm\grv=\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}$ , $\syn\grv=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}$ και $\ef \grv =\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΑΓ}}$

Έχουμε

$\dfrac{\hm\grv}{\syn\grv}= \dfrac{\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΒΓ}}}{\dfrac{\text{ΑΓ}}{\text{ΒΓ}}} =\dfrac{\text{ΑΒ}\cdot\text{ΒΓ}}{\text{ΑΓ}\cdot\text{ΒΓ}}=\dfrac{\text{ΑΒ}}{\text{ΑΓ}}=\ef \grv$

Please follow and like us:

Θεωρία – Β2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Θεωρία – Α1.8 Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας