Θεωρία – Β2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A τοπικό μέγιστο;

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει \delta > 0, τέτοιο ώστε

f(x) \leq f(x_0) για κάθε x \in A \cap (x_0 -\delta , x_0 + \delta).

Το x_0 λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f(x_0) τοπικό μέγιστο της f.

Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο;

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το f(x_0), αν η ανισότητα f(x) \leq f(x_0) ισχύει για κάθε x \in A.

Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A τοπικό ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει \delta > 0, τέτοιο ώστε

f(x) \geq f(x_0) για κάθε x \in A \cap (x_0 -\delta, x_0 + \delta).

Το x_0 λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f(x_0) τοπικό ελάχιστο της f.

Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το f(x_0), αν η ανισότητα f(x) \geq f(x_0) ισχύει για κάθε x \in A.

Παρατηρήσεις στα τοπικά ακρότατα.

  • Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχ.32α).
  • Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β).
  • Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο . αυτής (Σχ. 32α)
  • Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης (Σχ. 32α).

(Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x_0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x_0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι : 

    \[f '(x_0) = 0\]

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο x_0 τοπικό μέγιστο.

Επειδή το x_0 είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει \delta > 0 τέτοιο, ώστε (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subseteq \Delta και

f(x) \leq f(x_0) για κάθε  x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0, ισχύει

    \[ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \quad (1)\]

Επομένως,

  • αν x\in (x_0 -\delta, x_0) τότε, λόγω της (1), θα είναι \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0 οπότε θα έχουμε

    \[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0 \quad (2)\]

  • αν x\in (x_0 , x_0+\delta) τότε, λόγω της (1), θα είναι \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0 οπότε θα έχουμε

    \[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0 \quad (3)\]

Έτσι, από τις (2)  και (3) έχουμε f '(x_0) = 0.

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Fermat;

Αν σ’ ένα εσωτερικό σημείο x_0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο Α(x_0, f(x_0)) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει f'(x_0) = 0.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ και ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων;

Ως κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ ορίζουμε:

  • Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.
  • Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

Ως πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f στο διάστημα Δ ορίζουμε:

  • Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.
  • Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.
  • Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x_0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) > 0 στο (α, x_0) και f'(x) < 0 στο (x_0 , β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x_0) είναι τοπικό μέγιστο της f. (Σχ. 35α)

Eπειδή f'(x) > 0 για κάθε x \in (\alpha, x_0) και η f είναι συνεχής στο x_0, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (\alpha,x_0]. Έτσι έχουμε

f(x) \leq f(x_0), για κάθε x \in (\alpha, x_0]  \quad (1)

Επειδή f'(x) < 0 για κάθε x \in (x)0, \beta) και η f είναι συνεχής στο x_0, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [x_0, \beta). Έτσι έχουμε:

f(x) \leq f(x_0), για κάθε x \in [x_0, \beta) \quad (2)

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει :

f(x) \leq f(x_0), για κάθε x \in (\alpha, \beta) ,

που σημαίνει ότι το f(x_0) είναι μέγιστο της f στο (\alpha, \beta) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x_0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) < 0 στο (α, x_0) και f'(x) >0 στο (x_0 , β), τότε να αποδείξετε ότι το f(x_0) είναι τοπικό ελάχιστο της f. (Σχ. 35β)

Εργαζόμαστε αναλόγως.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, \beta), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x_0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

Aν η f(x) διατηρεί πρόσημο στο (α, x_0) \cup (x_0,\beta), τότε να αποδείξετε ότι το f(x_0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,\beta). (Σχ. 35γ).

Έστω ότι

f'(x) > 0, για κάθε (α, x_0) \cup (x_0, \beta).

Επειδή η f είναι συνεχής στο x_0 θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (α, x)0] και [x_0, \beta). Επομένως, για x_1 < x_0 < x_2 ισχύει f(x_1) < f(x_0) < f(x_2). Άρα f(x_0) το δεν είναι τοπικό ακρότατο της f.

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,\beta).

Πράγματι, έστω x_1 , x_2 \in (α,β) με x_1 < x_2.

  • Αν x_1 , x_2 \in (α, x_0], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, x_0], θα ισχύει f(x_1) < f(x_2).
  • Αν x_1 , x_2 \in [x_0, β), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [x_0, \beta), θα ισχύει f(x_1) < f(x_2).
  • Τέλος, αν x_1 < x_0 < x_2, τότε όπως είδαμε f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x_1) < f(x_2), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,\beta).

Ομοίως, αν f'(x) < 0 για κάθε x \in (α, x_0) \cup (x_0, \beta).

Έστω συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Πως εργαζόμαστε για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου;

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [\alpha,\beta], όπως γνωρίζουμε (θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης τιμής), η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.

Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f.
  • Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.
  • Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) και x_0 ένα σημείο του (α,β) στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.

  • Αν f'(x_0) = 0 και f''(x_0) < 0, τότε το f(x_0) είναι τοπικό μέγιστο.
  • Αν f'(x0) = 0 και f''(x_0) > 0, τότε το f(x_0) είναι τοπικό ελάχιστο. 

Βιβλιογραφία:

  • Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
  • www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us: