Θεωρία – Β2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ τοπικό μέγιστο;

Μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει $\delta > 0,$ τέτοιο ώστε

$f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in A \cap (x_0 -\delta , x_0 + \delta).$

Το $x_0$ λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το $f(x_0)$ τοπικό μέγιστο της $f.$

Πότε μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο;

Μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το $f(x_0),$ αν η ανισότητα $f(x) \leq f(x_0)$ ισχύει για κάθε $x \in A.$

Πότε μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ τοπικό ελάχιστο;

$f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x \in A \cap (x_0 -\delta, x_0 + \delta).$

Το $x_0$ λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το $f(x_0)$ τοπικό ελάχιστο της $f.$

Πότε μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο;

Μια συνάρτηση $f,$ με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το $f(x_0),$ αν η ανισότητα $f(x) \geq f(x_0)$ ισχύει για κάθε $x \in A.$

Παρατηρήσεις στα τοπικά ακρότατα.

Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο (Σχ.32α).
Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (Σχ. 32β).
Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο . αυτής (Σχ. 32α)
Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης (Σχ. 32α).

(Θ. Fermat) Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και $x_0$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι :

$f '(x_0) = 0$

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο $x_0$ τοπικό μέγιστο.

Επειδή το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η $f$ παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο, ώστε $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)\subseteq \Delta$ και

$f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta)$

Επειδή, επιπλέον, η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0,$ ισχύει

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \quad (1)$

Επομένως,

αν $x\in (x_0 -\delta, x_0)$ τότε, λόγω της (1), θα είναι $\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0$ οπότε θα έχουμε

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \geq 0 \quad (2)$

αν $x\in (x_0 , x_0+\delta)$ τότε, λόγω της (1), θα είναι $\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0$ οπότε θα έχουμε

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \leq 0 \quad (3)$

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε $f '(x_0) = 0.$

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Fermat;

Αν σ’ ένα εσωτερικό σημείο $x_0$ ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε στο σημείο $Α(x_0, f(x_0))$ η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ είναι οριζόντια, δηλαδή ισχύει $f'(x_0) = 0.$

Έστω μια συνάρτηση $f,$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ και ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων;

Ως κρίσιμα σημεία της $f$ στο διάστημα Δ ορίζουμε:

Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της $f$ μηδενίζεται.
Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η $f$ δεν παραγωγίζεται.

Ως πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της $f$ στο διάστημα Δ ορίζουμε:

Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της $f$ μηδενίζεται.
Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η $f$ δεν παραγωγίζεται.
Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(α,β),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής. Αν $f '(x) > 0$ στο $(α, x_0)$ και $f'(x) < 0$ στο $(x_0 , β),$ τότε να αποδείξετε ότι το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο της $f.$ (Σχ. 35α)

Eπειδή $f'(x) > 0$ για κάθε $x \in (\alpha, x_0)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha,x_0].$ Έτσι έχουμε

$f(x) \leq f(x_0),$ για κάθε $x \in (\alpha, x_0] \quad (1)$

Επειδή $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in (x)0, \beta)$ και η $f$ είναι συνεχής στο $x_0,$ η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[x_0, \beta).$ Έτσι έχουμε:

$f(x) \leq f(x_0),$ για κάθε $x \in [x_0, \beta) \quad (2)$

Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει :

$f(x) \leq f(x_0),$ για κάθε $x \in (\alpha, \beta) ,$

που σημαίνει ότι το $f(x_0)$ είναι μέγιστο της $f$ στο $(\alpha, \beta)$ και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(α,β),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής. Αν $f '(x) < 0$ στο $(α, x_0)$ και $f'(x) >0$ στο $(x_0 , β),$ τότε να αποδείξετε ότι το $f(x_0)$ είναι τοπικό ελάχιστο της $f.$ (Σχ. 35β)

Εργαζόμαστε αναλόγως.

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $(α, \beta),$ με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0,$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής.

Aν η $f(x)$ διατηρεί πρόσημο στο $(α, x_0) \cup (x_0,\beta),$ τότε να αποδείξετε ότι το $f(x_0)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $(α,\beta).$ (Σχ. 35γ).

Έστω ότι

$f'(x) > 0,$ για κάθε $(α, x_0) \cup (x_0, \beta)$ .

Επειδή η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(α, x)0]$ και $[x_0, \beta).$ Επομένως, για $x_1 < x_0 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$ Άρα $f(x_0)$ το δεν είναι τοπικό ακρότατο της $f.$

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(α,\beta).$

Πράγματι, έστω $x_1 , x_2 \in (α,β)$ με $x_1 < x_2.$

Αν $x_1 , x_2 \in (α, x_0],$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(α, x_0],$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$ .
Αν $x_1 , x_2 \in [x_0, β),$ επειδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0, \beta),$ θα ισχύει $f(x_1) < f(x_2).$
Τέλος, αν $x_1 < x_0 < x_2,$ τότε όπως είδαμε $f(x_1) < f(x_0) < f(x_2).$

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει $f(x_1) < f(x_2),$ οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο $(α,\beta).$

Ομοίως, αν $f'(x) < 0$ για κάθε $x \in (α, x_0) \cup (x_0, \beta).$

Έστω συνάρτηση $f$ συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Πως εργαζόμαστε για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου;

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta],$ όπως γνωρίζουμε (θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης τιμής), η $f$ παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο.

Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της $f.$
Υπολογίζουμε τις τιμές της $f$ στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.
Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της $f.$

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $(α,β)$ και $x_0$ ένα σημείο του $(α,β)$ στο οποίο η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.

Αν $f'(x_0) = 0$ και $f''(x_0) < 0,$ τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο.
Αν $f'(x0) = 0$ και $f''(x_0) > 0,$ τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό ελάχιστο.

Βιβλιογραφία:

Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας