Θεωρία – Β2.6 Συνέπειες του θεωρήματος Μέσης Τιμής

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f '(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x_1, x_2 \in \Delta ισχύει f(x_1) = f(x_2) . Πράγματι,

  • Αν x_1 = x_2, τότε προφανώς f(x_1) = f(x_2).
  • Αν x_1 < x_2, τότε στο διάστημα [x_1,x_2] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Mέσης Tιμής.

Επομένως, υπάρχει \xi \in (x_1,x_2) τέτοιο, ώστε

    \[f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \quad (1)\]

Επειδή το \xi είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f '(\xi) = 0, οπότε, λόγω της (1), είναι

    \[f(x_1) = f(x_2).\]

  • Αν x_2 < x_1, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f(x_1) = f(x_2).

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι

    \[f(x_1) = f(x_2).\]

Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f'(x) = g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x \in \Delta να ισχύει : 

    \[f(x) = g(x) + c\]

Η συνάρτηση f - g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x \in Δ ισχύει

    \[(f - g)'(x) = f '(x) - g'(x) = 0.\]

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f - g είναι σταθερή στο Δ.

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x \in \Delta να ισχύει f(x) - g(x) = c, οπότε

    \[f(x) = g(x) + c\]

(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

“Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και f'(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Α, τότε η f είναι σταθερή στο Α”.

  • Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
  • Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας

Είναι Ψευδής. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{cl}-1, & x<0 \\ 1, & x>0\end{array}\right.\]

Παρατηρούμε ότι,

  • η f συνεχής στο \mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)
  • η f παραγωγίσιμη στο \mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) και
  • f'(x) = 0 και για κάθε \mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)

εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο \mathrm{X} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty).

Γενικότερα, το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f '(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Έστω x_1, x_2 \in \Delta με x_1 < x_2. Θα δείξουμε ότι f(x_1) < f(x_2).

Πράγματι, στο διάστημα [x_1,x_2] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει \xi \in (x_1,x_2) τέτοιο, ώστε

    \[ f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}.\]

οπότε έχουμε

    \[f(x_2) - f(x_1) = f '(\xi) (x_2 - x_1)\]

Επειδή  \left.\begin{array}{l} f'ʹ(\xi) > 0\\ x_2 - x_1 > 0 \end{array}\right\} έχουμε f(x_2) - f(x_1) >0, οπότε

    \[f(x_2) > f(x_1).\]

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f '(x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Έστω x_1, x_2 \in \Delta με x_1 < x_2. Θα δείξουμε ότι f(x_1) > f(x_2).

Πράγματι, στο διάστημα [x_1,x_2] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει \xi \in (x_1,x_2) τέτοιο, ώστε

    \[f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}.\]

οπότε έχουμε

    \[f(x_2) - f(x_1) = f '(ξ) (x_2 - x_1)\]

Επειδή  \left.\begin{array}{l} f'ʹ(ξ) < 0\\ x_2 - x_1 > 0 \end{array}\right\} έχουμε f(x_2) - f(x_1) < 0, οπότε

    \[f(x_1) > f(x_2).\]

(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

“Αν για μία συνάρτηση f είναι γνησιώς αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικο του Δ, τότε f'(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.”

  • Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
  • Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Είναι Ψευδής. Έστω η συνάρτηση f(x) = x^3. H f είναι γνησίως αύξουα στο \mathbb{R}, εντούτοις έχει παράγωγο f(x) = 3x^2.

Παρατηρούμε ότι f '(0) = 0 άρα η f'(x) δεν είναι θετική σε όλο το \mathbb{R}

Δηλαδή, ισχύει

f'(x) \geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.


Βιβλιογραφία

  • Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
  • www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us: