Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και
για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η
είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει
Πράγματι,
- Αν
τότε προφανώς
- Αν
τότε στο διάστημα
η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Mέσης Tιμής.
Επομένως, υπάρχει τέτοιο, ώστε
Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει
οπότε, λόγω της (1), είναι
- Αν
τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι
Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι
Έστω δυο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι
είναι συνεχείς στο Δ και
για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά
τέτοια, ώστε για κάθε
να ισχύει :
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο
ισχύει
Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση είναι σταθερή στο Δ.
Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει
οπότε
(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
“Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και για κάθε εσωτερικό σημείο
του Α, τότε η
είναι σταθερή στο Α”.
- Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
- Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας
Είναι Ψευδής. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση
Παρατηρούμε ότι,
- η
συνεχής στο
- η
παραγωγίσιμη στο
και
και για κάθε
εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο
Γενικότερα, το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν
σε κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
Έστω με
Θα δείξουμε ότι
.
Πράγματι, στο διάστημα η
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.
Επομένως, υπάρχει τέτοιο, ώστε
οπότε έχουμε
Επειδή έχουμε
οπότε
Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν
σε κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
Έστω με
Θα δείξουμε ότι
.
Πράγματι, στο διάστημα η
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.
Επομένως, υπάρχει τέτοιο, ώστε
οπότε έχουμε
Επειδή έχουμε
οπότε
(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
“Αν για μία συνάρτηση f είναι γνησιώς αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικο του Δ, τότε για κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ.”
- Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
- Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.
Είναι Ψευδής. Έστω η συνάρτηση H f είναι γνησίως αύξουα στο
, εντούτοις έχει παράγωγο
.
Παρατηρούμε ότι άρα η
δεν είναι θετική σε όλο το
Δηλαδή, ισχύει
για κάθε
.
Βιβλιογραφία
- Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
- www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.
Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές