Θεωρία – Β2.6 Συνέπειες του θεωρήματος Μέσης Τιμής

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η $f$ είναι συνεχής στο Δ και $f '(x) = 0$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε οτι η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ ισχύει $f(x_1) = f(x_2) .$ Πράγματι,

Αν $x_1 = x_2,$ τότε προφανώς $f(x_1) = f(x_2).$
Αν $x_1 < x_2,$ τότε στο διάστημα $[x_1,x_2]$ η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Mέσης Tιμής.

Επομένως, υπάρχει $\xi \in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε

$f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} \quad (1)$

Επειδή το $\xi$ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει $f '(\xi) = 0,$ οπότε, λόγω της (1), είναι

$f(x_1) = f(x_2).$

Αν $x_2 < x_1,$ τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι $f(x_1) = f(x_2).$

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι

$f(x_1) = f(x_2).$

Έστω δυο συναρτήσεις $f, g$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι $f, g$ είναι συνεχείς στο Δ και $f'(x) = g'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά $c$ τέτοια, ώστε για κάθε $x \in \Delta$ να ισχύει :

$f(x) = g(x) + c$

Η συνάρτηση $f - g$ είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο $x \in Δ$ ισχύει

$(f - g)'(x) = f '(x) - g'(x) = 0.$

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση $f - g$ είναι σταθερή στο Δ.

Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε $x \in \Delta$ να ισχύει $f(x) - g(x) = c,$ οπότε

$f(x) = g(x) + c$

(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

“Αν για μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σύνολο Α που αποτελείται από ένωση διαστημάτων, είναι παραγωγίσιμη στο Α και $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του Α, τότε η $f$ είναι σταθερή στο Α”.

Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας

Είναι Ψευδής. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}-1, & x<0 \\ 1, & x>0\end{array}\right.$

Παρατηρούμε ότι,

η $f$ συνεχής στο $\mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$
η $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ και
$f'(x) = 0$ και για κάθε $\mathrm{x} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$

εντούτοις η $f$ δεν είναι σταθερή στο $\mathrm{X} \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty).$

Γενικότερα, το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Έστω μια συνάρτηση $f,$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν $f '(x) > 0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2.$ Θα δείξουμε ότι $f(x_1) < f(x_2)$ .

Πράγματι, στο διάστημα $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει $\xi \in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε

$f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}.$

οπότε έχουμε

$f(x_2) - f(x_1) = f '(\xi) (x_2 - x_1)$

Επειδή $\left.\begin{array}{l} f'ʹ(\xi) > 0\\ x_2 - x_1 > 0 \end{array}\right\}$ έχουμε $f(x_2) - f(x_1) >0,$ οπότε

$f(x_2) > f(x_1).$

Έστω μια συνάρτηση $f,$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν $f '(x) < 0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Έστω $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2.$ Θα δείξουμε ότι $f(x_1) > f(x_2)$ .

Πράγματι, στο διάστημα $[x_1,x_2]$ η $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Επομένως, υπάρχει $\xi \in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε

$f^{\prime}(\xi)=\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}.$

οπότε έχουμε

$f(x_2) - f(x_1) = f '(ξ) (x_2 - x_1)$

Επειδή $\left.\begin{array}{l} f'ʹ(ξ) < 0\\ x_2 - x_1 > 0 \end{array}\right\}$ έχουμε $f(x_2) - f(x_1) < 0,$ οπότε

$f(x_1) > f(x_2).$

(Αντιπαράδειγμα) Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

“Αν για μία συνάρτηση f είναι γνησιώς αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικο του Δ, τότε $f'(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του Δ.”

Είναι αληθής ή ψευδής η πρόταση;
Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Είναι Ψευδής. Έστω η συνάρτηση $f(x) = x^3.$ H f είναι γνησίως αύξουα στο $\mathbb{R}$ , εντούτοις έχει παράγωγο $f(x) = 3x^2$ .

Παρατηρούμε ότι $f '(0) = 0$ άρα η $f'(x)$ δεν είναι θετική σε όλο το $\mathbb{R}$

Δηλαδή, ισχύει

$f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Βιβλιογραφία

Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας