Θεωρία - Β2.5 Tο θεώρημα Μέσης Τιμής

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle.

Αν μια συνάρτηση f είναι :

συνεχής στο κλειστό διάστημα $[α, β]$
παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα $(α, β)$ και
$f(α) = f(β)$

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $\xi \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε $f '(\xi) = 0$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Ποια η γεωμερική ερμηνεία τους θεώρηματος Rolle.

Έστω συνάρτηση $f$ η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις τους θεωρήματος Rolle σε διάστημα $[α, β].$

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $M(ξ, f(ξ))$ να είναι παράλληλη στον άξονα των $x.$

Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης Τιμής.

Αν μια συνάρτηση f είναι :

συνεχής στο κλειστό διάστημα $[α, β]$
παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα $(α, β)$

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $\xi \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε $f '(\xi) = \dfrac{f(\grb)-f(\gra)}{\grb-\gra}$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία τους θεωρήματος Μέσης Τιμής;

Έστω συνάρτηση $f$ η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις τους θεωρήματος Μέσης Τιμής σε διάστημα $[α, β].$

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ \in (α, β)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $M(ξ, f(ξ))$ να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

Βιβλιογραφία

Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Θεωρία – Β2.5 Tο θεώρημα Μέσης Τιμής

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας