Θεωρία – Β2.5 Tο θεώρημα Μέσης Τιμής

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle.

Αν μια συνάρτηση f είναι :

  • συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
  • παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
  • f(α) = f(β)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \xi \in (α, β) τέτοιο, ώστε f '(\xi) = 0

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Ποια η γεωμερική ερμηνεία τους θεώρηματος Rolle.

Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις τους θεωρήματος Rolle σε διάστημα [α, β].

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ \in (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C_f στο M(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης Τιμής.

Αν μια συνάρτηση f είναι :

  • συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
  • παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \xi \in (α, β) τέτοιο, ώστε f '(\xi) = \dfrac{f(\grb)-f(\gra)}{\grb-\gra}

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία τους θεωρήματος Μέσης Τιμής;

Έστω συνάρτηση f η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις τους θεωρήματος Μέσης Τιμής σε διάστημα [α, β].

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ \in (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο M(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.


Βιβλιογραφία

  • Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ. (link)
  • www.study4exams.gr – Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα – Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

 

Please follow and like us: