Θεωρία – Α3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες, Γραφική παράσταση συνάρτησης

Μαθηματικά (B’ Γυμνασίου)

Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου στο επίπεδο χρειαζόμαστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Συνήθως, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται με αριθμητικές τιμές. Υπάρχουν αρκετά είδη Συστημάτων Συντεταγμένων (πχ, οι γεωγραφικές συντεταγμένες) αλλά στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Ένα ζεύγος δύο κάθετων αξόνων (ευθειών) και με κοινή αρχή ένα σημείο Ο το ονομάζουμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και το συμβολίζουμε με Οxy, ενώ το επίπεδο στο οποίο ορίστηκε αυτό το σύστημα,το ονομάζουμε καρτεσιανό επίπεδο. Το σημείο Ο όπου τέμνονται οι άξονες λέγεται αρχή του συστήματος συντεταγμένων.

Έστω ένα τυχαίο σημείο M.

• Σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο οι δύο κάθετοι άξονες και έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης.
• Από το M φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα y’y που τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο α.
• Από το M φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα x’x που τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο β.

Τότε, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο ζεύγος των αριθμών (α, β) και συμβολίζεται M(α, β).

Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς λέγεται τετμημένη του σημείου Μ και ο δεύτερος λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.

Η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου M.

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.

Ο άξονας ονομάζεται άξονας των τετμημένων, ενώ ο άξονας ονομάζεται άξονας των τεταγμένων.

Σύμφωνα με τον παραπάνω τρόπο προσδιορισμού των συντεταγμένων, καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα:

• η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το σημείο (0,0)
• αν το σημείο Κ είναι σημείο του άξονα (σχήμα γ) έχει τετμημένη 0, δηλαδή οι συντεταγμένες του είναι της μορφής Κ(0,β).
• αν το σημείο Λ είναι σημείο του άξονα (σχήμα β) έχει τεταγμένη 0, δηλαδή οι συντεταγμένες του είναι της μορφής Λ(α,0)

Έστω σημείο Μ(α,β) του καρτεσιανού επιπέδου. Με τη βοήθεια της συμμετρίας ως προς άξονα και ως προς κέντρο, διαπιστώνουμε ότι:

• Το συμμετρικό σημείο του Μ(α,β) ως προς τον άξονα  είναι το Α(-α, β). Δηλαδή, έχει αντίθετη τετμημένη και ίδια τεταγμένη με το σημείο Μ.

Για παράδειγμα, το συμμετρικό του Μ(2,3) ως προς τον άξονα είναι το Α(-2,3).

• Το συμμετρικό σημείο του Μ(α,β) ως προς τον άξονα είναι το Β(α,-β). Δηλαδή, έχει ίδια τετμημένη και αντίθετη τεταγμένη με το σημείο Μ. 

Για παράδειγμα, το συμμετρικό του Μ(2,3) ως προς τον άξονα είναι το B(2,-3)

• Το συμμετρικό σημείο του Μ(α,β)  ως προς την αρχή των αξόνων είναι το Γ(-α, -β). Δηλαδή, έχει αντίθετη τεμημένη και τεταγμένη με το σημείο Μ.

Για παράδειγμα, το συμμετρικό του Μ(2,3) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το Γ(-2,-3).

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο οι μονάδες μέτρησης των κάθετων αξόνων έχουν το ίδιο μήκος ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που ονομάζονται τεταρτημόρια.

Αν το Μ(α, β) είναι σημείο του:

• 1ου τεταρτημόριου, τότε και
• 2ου τεταρτημόριου, τότε και
• 3ου τεταρτημόριου, τότε και
• 4ου τεταρτημόριου, τότε και

Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x. Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y).

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δίνει μια «εποπτική» εικόνα της συνάρτησης αυτής και μας βοηθάει να αντλήσουμε χρήσιμες πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών x και y.

---

Βιβλιογραφία: Μαθηματικά B Γυμνασίου, Παναγιώτης Βλάμος, Παναγιώτης Δρούτσας, Γεώργιος Πρέσβης, Κωνσταντίνος Ρεκούμης, ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ (link)

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές