Θεωρία – Β2.3 Κανόνες παραγώγισης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0,$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f + g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει :

$(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει :

$\begin{align*} \dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0}{x-x_0}\\ &= \dfrac{(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}\\ &= \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}}&= \orio{x}{x_0}{\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}\\ &= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}+\orio{x}{x_0}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\ &=f'(x_0)+g'(x_0) \end{align*}$

δηλαδή

$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

Αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0,$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f \cdot g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει :

$(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Αν η συναρτήση $f$ είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $c \cdot f$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει :

$(c \cdot f)'(x) =c \cdot f'(x)$

Ισχύει:

$(c \cdot f)'(x) = (c)'\cdot f(x)+cf'(x)= 0\cdot f(x)+cf'(x)=c \cdot f'(x)$

Αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και $g(x_0)\neq0,$ τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\dfrac{f}{g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει :

$\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x_0) = \dfrac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Έστω η συνάρτηση $f(x) = \hm x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =\syn x$ δηλαδή $(\hm x)'=\syn x$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = \syn x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =-\hm x$ δηλαδή $(\syn x)'=-\hm x$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = e^x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =e^x$ δηλαδή $(e^x)'=e^x.$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = lnx.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ισχύει $f'(x) =\dfrac{1}{x}$ δηλαδή $(lnx)'=\dfrac{1}{x}.$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Please follow and like us:

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας