Θεωρία – Β2.3 Κανόνες παραγώγισης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x_0, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x_0 και ισχύει :

    \[(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\]

Πράγματι, αν x_0 είναι ένα σημείο του \rr, τότε για x \neq x_0 ισχύει :

    \begin{align*} \dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0}{x-x_0}\\ &= \dfrac{(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))}{x-x_0}\\ &= \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \end{align*}

Επομένως,

    \begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}}&= \orio{x}{x_0}{\left(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+ \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}\\ &= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}+\orio{x}{x_0}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\ &=f'(x_0)+g'(x_0) \end{align*}

δηλαδή

    \[(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\]

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x_0, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f \cdot g είναι παραγωγίσιμη στο x_0 και ισχύει :

    \[(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)\]

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Αν η συναρτήση f είναι παραγωγίσιμη, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση c \cdot f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει :

    \[(c \cdot f)'(x) =c \cdot f'(x)\]

Ισχύει:

    \[(c \cdot f)'(x) = (c)'\cdot f(x)+cf'(x)= 0\cdot f(x)+cf'(x)=c \cdot f'(x)\]

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x_0 και g(x_0)\neq0, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \dfrac{f}{g} είναι παραγωγίσιμη στο x_0 και ισχύει :

    \[\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x_0) = \dfrac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}\]

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Έστω η συνάρτηση f(x) = \hm x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =\syn x δηλαδή (\hm x)'=\syn x

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = \syn x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =-\hm x δηλαδή (\syn x)'=-\hm x

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = e^x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =e^x δηλαδή (e^x)'=e^x.

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = lnx. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +\infty) και ισχύει f'(x) =\dfrac{1}{x} δηλαδή (lnx)'=\dfrac{1}{x}.

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

 

Please follow and like us: