Θεωρία - Β2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε σύνολο Α;

H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in A.$

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β);

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in (α, β).$

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β];

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει

$\orio{x}{x_{\gra^+}}{\dfrac{f(x)-f(\gra)}{x-\gra}}\in\rr$ και $\orio{x}{x_{\grb^-}}{\dfrac{f(x)-f(\grb)}{x-\grb}}\in\rr$

Εικόνα

Έστω η σταθερή συνάρτηση $f(x) = c, c \in \rr.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'ʹ(x) = 0,$ δηλαδή $(c)'=0$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει :

$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{c-c}{x-x_0}=0$

Επομένως,

$\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=0$

δηλαδή $(c)'=0$

Έστω η συνάρτηση $f(x) = x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) = 1,$ δηλαδή $(x)'=1$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει :

$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{x-x_0}{x-x_0}=1$

Επομένως,

$\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\orio{x}{x_0}{1}=1$

δηλαδή $(x)'=1$

Εστω η συνάρτηση $f(x) = x^{\grn}.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) = \grn x^{\grn-1},$ δηλαδή $(x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $\rr,$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει :

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{x^{\grn}-x_0^{\grn}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(x-x_0)\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}{x-x_0}\\ &=x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=\grn x_0^{\grn-1} \end{align*}$

δηλαδή $(x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}$

Έστω η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{x}.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ισχύει $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$ δηλαδή $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Πράγματι, αν $x_0$ είναι ένα σημείο του $(0,+\infty)$ τότε για $x \neq x_0$ ισχύει :

$\begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \end{align*}$

Επομένως,

$\begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{align*}$

δηλαδή $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Παρατήρηση: η $\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Έστω η συνάρτηση $f(x) = \hm x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =\syn x$ δηλαδή $(\hm x)'=\syn x$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = \syn x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =-\hm x$ δηλαδή $(\syn x)'=-\hm x$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = e^x.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ και ισχύει $f'(x) =e^x$ δηλαδή $(e^x)'=e^x.$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση $f(x) = lnx.$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ισχύει $f'(x) =\dfrac{1}{x}$ δηλαδή $(lnx)'=\dfrac{1}{x}.$

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Please follow and like us:

Θεωρία – Β2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας