Θεωρία – Β2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε σύνολο Α;

H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x_0 \in A.

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β);

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x_0 \in (α, β).

Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β];

Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει

\orio{x}{x_{\gra^+}}{\dfrac{f(x)-f(\gra)}{x-\gra}}\in\rr και \orio{x}{x_{\grb^-}}{\dfrac{f(x)-f(\grb)}{x-\grb}}\in\rr

Εικόνα

Έστω η σταθερή συνάρτηση f(x) = c, c \in \rr. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'ʹ(x) = 0, δηλαδή (c)'=0

Πράγματι, αν x_0 είναι ένα σημείο του \rr, τότε για x \neq x_0 ισχύει :

    \[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{c-c}{x-x_0}=0\]

Επομένως,

    \[\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=0\]

δηλαδή (c)'=0

Έστω η συνάρτηση f(x) = x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) = 1, δηλαδή (x)'=1

Πράγματι, αν x_0 είναι ένα σημείο του \rr, τότε για x \neq x_0 ισχύει :

    \[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{x-x_0}{x-x_0}=1\]

Επομένως,

    \[\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\orio{x}{x_0}{1}=1\]

δηλαδή (x)'=1

Εστω η συνάρτηση f(x) = x^{\grn}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) = \grn x^{\grn-1}, δηλαδή (x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}

Πράγματι, αν x_0 είναι ένα σημείο του \rr, τότε για x \neq x_0 ισχύει :

    \begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{x^{\grn}-x_0^{\grn}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(x-x_0)\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}{x-x_0}\\ &=x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1} \end{align*}

Επομένως,

    \begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\left(x^{\grn-1}+x^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\right)}\\ &=x_0^{\grn-1}+x_0^{\grn-2}x_0+ \dots +x_0^{\grn-1}\\ &=\grn x_0^{\grn-1} \end{align*}

δηλαδή (x^{\grn})'=\grn x^{\grn-1}

Έστω η συνάρτηση f(x) = \sqrt{x}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +\infty) και ισχύει f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, δηλαδή (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Πράγματι, αν x_0 είναι ένα σημείο του (0,+\infty) τότε για x \neq x_0 ισχύει :

    \begin{align*} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ &=\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \end{align*}

Επομένως,

    \begin{align*} \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}&=\orio{x}{x_0}{\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}} \end{align*}

δηλαδή (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Παρατήρηση: η \sqrt{x}  δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Έστω η συνάρτηση f(x) = \hm x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =\syn x δηλαδή (\hm x)'=\syn x

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = \syn x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =-\hm x δηλαδή (\syn x)'=-\hm x

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = e^x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \rr και ισχύει f'(x) =e^x δηλαδή (e^x)'=e^x.

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Εστω η συνάρτηση f(x) = lnx. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +\infty) και ισχύει f'(x) =\dfrac{1}{x} δηλαδή (lnx)'=\dfrac{1}{x}.

Η απόδειξη είναι εκτός ύλης.

Please follow and like us: