Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της;
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το
και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με
Δηλαδή:
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της;
Η είναι παραγωγίσιμη στο
αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια
και
και είναι ίσα.
Πως ορίζεται η μέση ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή
Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή
Η μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι
Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο ;
Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή
- Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο
ισχύει
, οπότε είναι
- Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο
ισχύει
, οπότε είναι
Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή
Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή
.
Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης
τη χρονική στιγμή
Δηλαδή, είναι
Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο
Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A;
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης
στο σημείο
είναι η παράγωγος της
στο
Δηλαδή, είναι
Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) είναι :
Την κλίση της εφαπτομένης
στο
θα τη λέμε και κλίση της
στο Α ή κλίση της f στο
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Για έχουμε
Άρα η f είναι συνεχής στο
Παρατήρηση:
Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο
(Αντιπαράδειγμα) Mια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ’ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό; Δικαιολογήστε την απάντηση σας.
Έστω η συνάρτηση
Η f είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού
Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό.