Θεωρία - Β2.1 Η έννοια της παραγώγου

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το $\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο $x_0$ και συμβολίζεται με $f'(x_0).$ Δηλαδή:

$f'(x_0)=\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=l \in \rr$

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0$ εσωτερικό του πεδίου ορισμού της;

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0,$ αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια

$\orio{x}{x_0^-}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ και $\orio{x}{x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

και είναι ίσα.

Πως ορίζεται η μέση ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $t_0;$

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι $S = S(t)$ είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή $t.$

Η μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι

$\orio{x}{t_0}{\dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}}$

Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο $t_0$ ;

Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο $t_0$ ισχύει $\dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}>0$ , οπότε είναι
$υ(t_0) > 0.$
Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο $t_0$ ισχύει $\dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}<0$ , οπότε είναι
$υ(t_0) < 0.$

Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $t_0;$

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι $S = S(t)$ είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή $t$ .

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή $t_0,$ είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης $x = S(t)$ τη χρονική στιγμή $t_0.$ Δηλαδή, είναι

$υ(t_0) = S '(t_0)$

Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της $C_f$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο $Α(x_0, f(x_0));$ Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A;

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της $C_f$ μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f$ στο σημείο $Α(x_0, f(x_0))$ είναι η παράγωγος της $f$ στο $x_0.$ Δηλαδή, είναι

$\grl = f '(x_0)= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) είναι :

$y − f(x_0) = f'(x_0) (x − x-0)$

Την κλίση $f'(x_0)$ της εφαπτομένης $(ε)$ στο $Α(x_0, f(x_0))$ θα τη λέμε και κλίση της $C_f$ στο Α ή κλίση της f στο $x_0.$

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο $x_0,$ τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Για $x \neq x_0$ έχουμε

$\begin{align*} f(x)-f(x_0)&=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)\Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)-f(x_0)}&=\orio{x}{x_0}{\left[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\right]} \\ &=\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\cdot \orio{x}{x_0}{(x-x_0)} \quad \text{f είναι παραγωγίσιμη στο } x_0 \\ &=f'(x_0)\cdot0\\ &=0 \Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)} &=f(x_0) \end{align*}$