Θεωρία – Β2.1 Η έννοια της παραγώγου

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της;

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_0 και συμβολίζεται με f'(x_0). Δηλαδή:

    \[f'(x_0)=\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=l \in \rr\]

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0 εσωτερικό του πεδίου ορισμού της;

Η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια

\orio{x}{x_0^-}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} και \orio{x}{x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

και είναι ίσα.

Πως ορίζεται η μέση ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t_0;

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S = S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t.

Η μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι

    \[\orio{x}{t_0}{\dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}}\]

Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κοντά στο t_0;

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S = S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t.

  • Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t_0 ισχύει \dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}>0 , οπότε είναι

        \[υ(t_0) > 0.\]

  • Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο t_0 ισχύει \dfrac{S(t)-S(t_0)}{t-t_0}<0 , οπότε είναι

        \[υ(t_0) < 0.\]

Πως ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t_0;

Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S = S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t.

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t_0, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t_0. Δηλαδή, είναι

    \[υ(t_0) = S '(t_0)\]

Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της C_f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο Α(x_0, f(x_0)); Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A;

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της C_f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο Α(x_0, f(x_0)) είναι η παράγωγος της f στο x_0. Δηλαδή, είναι

    \[\grl = f '(x_0)= \orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\]

Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) είναι :

    \[y − f(x_0) = f'(x_0) (x − x-0)\]

Την κλίση f'(x_0) της εφαπτομένης (ε) στο Α(x_0, f(x_0)) θα τη λέμε και κλίση της C_f στο Α ή κλίση της f στο x_0.

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Για x \neq x_0 έχουμε

    \begin{align*} f(x)-f(x_0)&=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x-x_0)\Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)-f(x_0)}&=\orio{x}{x_0}{\left[\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\right]} \\ &=\orio{x}{x_0}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\cdot \orio{x}{x_0}{(x-x_0)} \quad \text{f είναι παραγωγίσιμη στο } x_0 \\ &=f'(x_0)\cdot0\\ &=0 \Rightarrow \\ \orio{x}{x_0}{f(x)} &=f(x_0) \end{align*}

Άρα η f είναι συνεχής στο x_0.

Παρατήρηση:

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x_0, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x_0.

(Αντιπαράδειγμα) Mια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x_0 χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό; Δικαιολογήστε την απάντηση σας.

Έστω η συνάρτηση

    \[f(x) = |x|=\left\{\begin{array}{ll} -x, &x<0\\ x, &x\geq 0 \end{array}\right.\]

Η f είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού

    \[\orio{x}{0^-}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\orio{x}{0^-}{\dfrac{-x}{x}}=-1, \text{ ενώ}\]

    \[\orio{x}{0^+}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\orio{x}{0^+}{\dfrac{x}{x}}=1\]

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό.


 

Please follow and like us: