Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)
Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; Να γράψετε τον αλγεβρικό ορισμό του.
Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Τότε, η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με
O αλγεβρικός ορισμός τους είναι:
Τι παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε στον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού;
- Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. Δηλαδή,
για κάθε
- Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Δηλαδή,
για κάθε
- Η απόλυτη τιμή του 0 είναι το 0. Δηλαδή,
Να αναφέρετε τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών.
Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει:
- Αν
τότε
Να αποδείξετε ότι
Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας ειναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:
που ισχύει.
Παρατηρήσεις:
Η ισότητα ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Δηλαδή:
Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι έχουμε:
Να αποδείξετε ότι
Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:
που ισχύει.
Να αποδείξετε ότι
Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε:
που ισχύει.
Παρατηρήσεις:
Είναι φανερό ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν
δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.
Η ανισότητα ισχύει και για περισσότερους προσθετέους. Δηλαδή:
Πως ορίζεται η απόσταση μεταξύ δύο αριθμών;
Ας θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.
Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών και
συμβολίζεται με
και είναι ίση με
Είναι δηλαδή:
Να αποδείξετε ότι το μέσο του διαστήματος είναι
Ας θεωρήσουμε τώρα ένα διάστημα και ας ονομάσουμε Α και Β τα σημεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως.
Αν είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε
Η σχέση (1) προέκυψε ισχύει γιατί:
Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο μέσο του ΑΒ, ονομάζεται κέντρο του διαστήματος
Ο αριθμός λέγεται ακτίνα του
Πως γράφεται η ανίσωση σε μορφή
- διαστήματος
- σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;
Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση ;
Για κάθε και
ισχύει:
Στην ειδική περίπτωση που είναι έχουμε:
Πως γράφεται η ανίσωση σε μορφή
- διαστήματος
- σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;
Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση ;
Για κάθε και
ισχύει:
Στην ειδική περίπτωση που είναι έχουμε:
Βιβλιογραφία:
ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.
Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές