Θεωρία – Α1.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; Να γράψετε τον αλγεβρικό ορισμό του.

 Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Τότε, η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με |α|. 

O αλγεβρικός ορισμός τους είναι:

    \[|\gra|= \left\{ \begin{array}{ll} \gra, &\text{αν } \gra\geq 0 \\ -\gra, &\text{αν } \gra<0 \end{array} \right.\]

Τι παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε στον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού;

  • Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. Δηλαδή,

|\gra|=\gra, για κάθε \gra>0

  • Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Δηλαδή,

|\gra|=-\gra, για κάθε \gra<0

  • Η απόλυτη τιμή του 0 είναι το 0. Δηλαδή,

 |0|=0

Να αναφέρετε τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών.

Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει:

  • |\gra|\geq 0
  • |\gra|=|-\gra| \geq0
  • |\gra|\geq \gra,\quad |\gra|\geq -\gra
  • |\gra|^2=\gra^2
  • Αν \gru >0, τότε |x|=\gru \Leftrightarrow x=\gru \text{ ή } x=-\gru
  • |x|=|\gra| \Leftrightarrow x=\gra \text{ ή } x=-\gra

Να αποδείξετε ότι

    \[|\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb|\]

Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας |\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb| ειναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:

    \begin{align*} |\gra\cdot\grb|&~=~|\gra|\cdot |\grb| \Leftrightarrow\\ \vspace{10em} \left|\gra\cdot\grb\right|^2&~=~\left(|\gra|\cdot |\grb|\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left|\gra\cdot\grb\right|^&~=~|\gra|^2\cdot |\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \left(\gra\cdot\grb\right)^2&~=~\gra^2\cdot \grb^2 \end{align*}

που ισχύει.

Παρατηρήσεις:

Η ισότητα |\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb| ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Δηλαδή:

    \[\left|\alpha_{1} \cdot \alpha_{2} \cdot \ldots \cdot \alpha_{v}\right|=\left|\alpha_{1}\right| \cdot\left|\alpha_{2}\right| \cdot \ldots \cdot\left|\alpha_{v}\right|\]

Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι \alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{v}=\alpha έχουμε:

    \[\left|\alpha^{v}\right|=|\alpha|^{v}\]

Να αποδείξετε ότι

    \[\left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|=\dfrac{|\gra|}{|\grb|}\]

Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας \left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|=\dfrac{|\gra|}{|\grb|} είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:

    \begin{align*} \left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|&~=~\dfrac{|\gra|}{|\grb|} \Leftrightarrow\\ \left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|^2&~=~\left(\dfrac{|\gra|}{|\grb|}\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^2&~=~\dfrac{|\gra|^2}{|\grb|^2}\Leftrightarrow\\ \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^2&~=~\dfrac{\gra^2}{\grb^2} \end{align*}

που ισχύει.

Να αποδείξετε ότι

    \[|\gra+\grb|\leq|\gra|+|\grb|\]

Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας |\gra+\grb|, |\gra|+|\grb| είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε:

    \begin{align*} 0\leq |\gra+\grb|&~\leq|~\gra|+|\grb| \Leftrightarrow\\ |\gra+\grb|^2&~\leq~\left(|\gra|+|\grb|\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left(\gra+\grb\right)^2&~\leq~|\gra|^2+2|\gra||\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra^2+2\gra\grb+\grb^2&~\leq~|\gra|^2+2|\gra||\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra^2+2\gra\grb+\grb^2&~\leq~\gra^2+2|\gra||\grb|+\grb^2 \Leftrightarrow\\ 2\gra\grb&~\leq~2|\gra||\grb|\\ \gra\grb&~\leq~|\gra||\grb| \end{align*}

που ισχύει.

Παρατηρήσεις:

Είναι φανερό ότι η ισότητα \gra\grb = |\gra\grb| ισχύει αν και μόνο αν \gra\grb \geq 0, δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.

Η ανισότητα |\gra+\grb|\leq|\gra|+|\grb| ισχύει και για περισσότερους προσθετέους. Δηλαδή:

    \[\left|\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{v}\right| \leq\left|\alpha_{1}\right|+\left|\alpha_{2}\right|+\ldots+\left|\alpha_{v}\right|\]

Πως ορίζεται η απόσταση μεταξύ δύο αριθμών;

Ας θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.

Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών \gra και \grb, συμβολίζεται με d(\gra,\grb) και είναι ίση με |\gra-\grb|. Είναι δηλαδή:

    \[d(\gra, \grb)=|\gra-\grb|\]

Να αποδείξετε ότι το μέσο του διαστήματος [\gra, \grb] είναι \dfrac{\gra+\grb}{2}.

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα διάστημα [\gra, \grb] και ας ονομάσουμε Α και Β τα σημεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως.

Αν M(x_0) είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε

    \begin{align*} (ΜΑ)&~=~(ΜΒ)\Leftrightarrow \\ d(x_0,\gra)&~=~d(x_0,\grb) \Leftrightarrow\\ |x_0-\gra|&~=~|x_0-\grb| \Leftrightarrow\\ x_0-\gra&~=~\grb-x_0 \Leftrightarrow \text{(1) } \\ 2 x_0 &~=~\gra+\grb \Leftrightarrow \\ x_0 &~=~\dfrac{\gra+\grb}{2} \end{align*}

Η σχέση (1) προέκυψε ισχύει γιατί:

    \[\gra <x_0 < \grb \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0-\gra >0 \Leftrightarrow |x_0-\gra|= x_0-\gra \\ \\ x_0-\grb <0 \Leftrightarrow |x_0-\grb|= -(x_0-\grb)=\grb-x_0 \end{array}\right.\]

Ο αριθμός x_0 = \dfrac{\gra+\grb}{2} που αντιστοιχεί στο μέσο του ΑΒ, ονομάζεται κέντρο του διαστήματος [\gra, \grb].

Ο αριθμός \grr=\dfrac{\grb-\gra}{2} λέγεται ακτίνα του [\gra, \grb].

Πως γράφεται η ανίσωση |x-x_0|<\grr σε μορφή

  • διαστήματος
  • σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;

Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση x_0=0;

Για κάθε x_0 \in \mathbb{R} και \grr>0 ισχύει:

    \[|x-x_0|<\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (x_0-\grr, x_0+\grr)\\ \\ x_0-\grr < x <x_0+\grr \end{array}\right.\]

Στην ειδική περίπτωση που είναι x_0= 0,  έχουμε:

    \[|x|<\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\grr, \grr)\\ \\ -\grr < x < \grr \end{array}\right.\]

Πως γράφεται η ανίσωση |x-x_0|>\grr σε μορφή

  • διαστήματος
  • σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;

Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση x_0=0;

Για κάθε x_0 \in \mathbb{R} και \grr>0 ισχύει:

    \[|x-x_0|>\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\infty,x_0-\grr) \cup (x_0+\grr,+\infty )\\ \\ x< x_0-\grr \ \text{ή} \ x >x_0+\grr \end{array}\right.\]

Στην ειδική περίπτωση που είναι x_0= 0,  έχουμε:

    \[|x|>\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\infty, -\grr) \cup (\grr,+\infty )\\ \\ x< -\grr \ \text{ή} \ x >\grr \end{array}\right.\]


Βιβλιογραφία: 

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us: