Θεωρία - Α1.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; Να γράψετε τον αλγεβρικό ορισμό του.

Θεωρούμε έναν αριθμό α που παριστάνεται με το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Τότε, η απόσταση του σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του αριθμού α και την συμβολίζεται με $|α|.$

O αλγεβρικός ορισμός τους είναι:

$|\gra|= \left\{ \begin{array}{ll} \gra, &\text{αν } \gra\geq 0 \\ -\gra, &\text{αν } \gra<0 \end{array} \right.$

Τι παρατηρήσεις μπορούμε να κάνουμε στον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού;

Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. Δηλαδή,

$|\gra|=\gra,$ για κάθε $\gra>0$

Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Δηλαδή,

$|\gra|=-\gra,$ για κάθε $\gra<0$

Η απόλυτη τιμή του 0 είναι το 0. Δηλαδή,

$|0|=0$

Να αναφέρετε τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών.

Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει:

$|\gra|\geq 0$
$|\gra|=|-\gra| \geq0$
$|\gra|\geq \gra,\quad |\gra|\geq -\gra$
$|\gra|^2=\gra^2$
Αν $\gru >0,$ τότε $|x|=\gru \Leftrightarrow x=\gru \text{ ή } x=-\gru$
$|x|=|\gra| \Leftrightarrow x=\gra \text{ ή } x=-\gra$

Να αποδείξετε ότι

$|\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb|$

Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας $|\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb|$ ειναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:

$\begin{align*} |\gra\cdot\grb|&~=~|\gra|\cdot |\grb| \Leftrightarrow\\ \vspace{10em} \left|\gra\cdot\grb\right|^2&~=~\left(|\gra|\cdot |\grb|\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left|\gra\cdot\grb\right|^&~=~|\gra|^2\cdot |\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \left(\gra\cdot\grb\right)^2&~=~\gra^2\cdot \grb^2 \end{align*}$

που ισχύει.

Παρατηρήσεις:

Η ισότητα $|\gra\cdot\grb|=|\gra|\cdot |\grb|$ ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Δηλαδή:

$\left|\alpha_{1} \cdot \alpha_{2} \cdot \ldots \cdot \alpha_{v}\right|=\left|\alpha_{1}\right| \cdot\left|\alpha_{2}\right| \cdot \ldots \cdot\left|\alpha_{v}\right|$

Στην ειδική μάλιστα περίπτωση που είναι $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{v}=\alpha$ έχουμε:

$\left|\alpha^{v}\right|=|\alpha|^{v}$

Να αποδείξετε ότι

$\left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|=\dfrac{|\gra|}{|\grb|}$

Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας $\left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|=\dfrac{|\gra|}{|\grb|}$ είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε:

$\begin{align*} \left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|&~=~\dfrac{|\gra|}{|\grb|} \Leftrightarrow\\ \left|\dfrac{\gra}{\grb}\right|^2&~=~\left(\dfrac{|\gra|}{|\grb|}\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^2&~=~\dfrac{|\gra|^2}{|\grb|^2}\Leftrightarrow\\ \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^2&~=~\dfrac{\gra^2}{\grb^2} \end{align*}$

που ισχύει.

Να αποδείξετε ότι

$|\gra+\grb|\leq|\gra|+|\grb|$

Επειδή και τα δύο μέλη της ανισότητας $|\gra+\grb|, |\gra|+|\grb|$ είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε:

$\begin{align*} 0\leq |\gra+\grb|&~\leq|~\gra|+|\grb| \Leftrightarrow\\ |\gra+\grb|^2&~\leq~\left(|\gra|+|\grb|\right)^2 \Leftrightarrow\\ \left(\gra+\grb\right)^2&~\leq~|\gra|^2+2|\gra||\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra^2+2\gra\grb+\grb^2&~\leq~|\gra|^2+2|\gra||\grb|+|\grb|^2 \Leftrightarrow\\ \gra^2+2\gra\grb+\grb^2&~\leq~\gra^2+2|\gra||\grb|+\grb^2 \Leftrightarrow\\ 2\gra\grb&~\leq~2|\gra||\grb|\\ \gra\grb&~\leq~|\gra||\grb| \end{align*}$

που ισχύει.

Παρατηρήσεις:

Είναι φανερό ότι η ισότητα $\gra\grb = |\gra\grb|$ ισχύει αν και μόνο αν $\gra\grb \geq 0,$ δηλαδή αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος με μηδέν.

Η ανισότητα $|\gra+\grb|\leq|\gra|+|\grb|$ ισχύει και για περισσότερους προσθετέους. Δηλαδή:

$\left|\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{v}\right| \leq\left|\alpha_{1}\right|+\left|\alpha_{2}\right|+\ldots+\left|\alpha_{v}\right|$

Πως ορίζεται η απόσταση μεταξύ δύο αριθμών;

Ας θεωρήσουμε δυο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως.

Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών $\gra$ και $\grb,$ συμβολίζεται με $d(\gra,\grb)$ και είναι ίση με $|\gra-\grb|.$ Είναι δηλαδή:

$d(\gra, \grb)=|\gra-\grb|$

Να αποδείξετε ότι το μέσο του διαστήματος $[\gra, \grb]$ είναι $\dfrac{\gra+\grb}{2}.$

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα διάστημα $[\gra, \grb]$ και ας ονομάσουμε Α και Β τα σημεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως.

Αν $M(x_0)$ είναι το μέσον του τμήματος AB, τότε έχουμε

$\begin{align*} (ΜΑ)&~=~(ΜΒ)\Leftrightarrow \\ d(x_0,\gra)&~=~d(x_0,\grb) \Leftrightarrow\\ |x_0-\gra|&~=~|x_0-\grb| \Leftrightarrow\\ x_0-\gra&~=~\grb-x_0 \Leftrightarrow \text{(1) } \\ 2 x_0 &~=~\gra+\grb \Leftrightarrow \\ x_0 &~=~\dfrac{\gra+\grb}{2} \end{align*}$

Η σχέση (1) προέκυψε ισχύει γιατί:

$\gra <x_0 < \grb \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_0-\gra >0 \Leftrightarrow |x_0-\gra|= x_0-\gra \\ \\ x_0-\grb <0 \Leftrightarrow |x_0-\grb|= -(x_0-\grb)=\grb-x_0 \end{array}\right.$

Ο αριθμός $x_0 = \dfrac{\gra+\grb}{2}$ που αντιστοιχεί στο μέσο του ΑΒ, ονομάζεται κέντρο του διαστήματος $[\gra, \grb].$

Ο αριθμός $\grr=\dfrac{\grb-\gra}{2}$ λέγεται ακτίνα του $[\gra, \grb].$

Πως γράφεται η ανίσωση $|x-x_0|<\grr$ σε μορφή

διαστήματος
σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;

Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση $x_0=0$ ;

Για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ και $\grr>0$ ισχύει:

$|x-x_0|<\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (x_0-\grr, x_0+\grr)\\ \\ x_0-\grr < x <x_0+\grr \end{array}\right.$

Στην ειδική περίπτωση που είναι $x_0= 0,$ έχουμε:

$|x|<\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\grr, \grr)\\ \\ -\grr < x < \grr \end{array}\right.$

Πως γράφεται η ανίσωση $|x-x_0|>\grr$ σε μορφή

διαστήματος
σε μορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο;

Πως γράφεται στην ειδική περίπτωση $x_0=0$ ;

Για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ και $\grr>0$ ισχύει:

$|x-x_0|>\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\infty,x_0-\grr) \cup (x_0+\grr,+\infty )\\ \\ x< x_0-\grr \ \text{ή} \ x >x_0+\grr \end{array}\right.$

Στην ειδική περίπτωση που είναι $x_0= 0,$ έχουμε:

$|x|>\grr \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \in (-\infty, -\grr) \cup (\grr,+\infty )\\ \\ x< -\grr \ \text{ή} \ x >\grr \end{array}\right.$

Βιβλιογραφία:

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Θεωρία – Α1.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας