Θεωρία – Β1.8 Συνέχεια Συνάρτησης (θεωρήματα)

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Έστω μια συνάρτηση f: [\alpha,\, \beta] \to \rr για την οποία ισχύουν:

  • Είναι συνεχής στο [\alpha,\, \beta] και
  • f(\alpha) \cdot f(\beta) <0

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{0} \in (\alpha,\, \beta) τέτοιο ώστε f(x_{0}) = 0

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\, \beta)

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεώρηματος Bolzano;

Αν f συνεχής συνάρτηση στο στο [\alpha,\, \beta] και f(\alpha) \cdot f(\beta) <0 τότε η γραφική παράσταση C_f της f τέμνει τον άξονα x'x σε ένα τουλάχιστον σημείο M(x_{0},0) οπου x_0 \in (\alpha,\, \beta).

{pic/imgB1_338}

Παρατηρήσεις και συνέπειες του θεωρήματος Bolzano.

Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

  • Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x \in \grD ή είναι αρνητική για κάθε x \in \grD, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα \grD.

{pic/imgB1_339}

  • Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

{pic/imgB1_340}

  • Αν δεν ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι η συνάρτηση δεν θα έχει ρίζες.
  • Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση f:[\gra,\grb]\rightarrow \rr υπάρχει τουλάχιστον ένα x_{0} \in (\alpha,\, \beta) τέτοιο ώστε f(x_{0}) = 0, δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η είναι συνεχής ή ότι οι τιμές f(\gra), f(\grb) είναι ετερόσημες, δηλαδή f(\gra)\cdot f(\grb)<0.
  • Το θεώρημα Bolzano διαπιστώνει την ύπαρξη τουλάχιστον μιας ρίζας.

Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[\alpha,\, \beta]. Αν:

  • η f είναι συνεχής στο [\alpha,\, \beta] και
  • f(\alpha) \neq f(\beta)

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(\alpha) και f(\beta), υπάρχει ένας, τουλάχιστον x_{0} \in (\alpha, \beta), ώστε

    \[f(x_{0}) = \eta\]

Να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Έστω η συνεχής στο διάστημα [\alpha,\, \beta] συνάρτηση f με f(\alpha) \neq f(\beta).

Αφού f(\alpha) \neq f(\beta) μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι f(\alpha) < f(\beta). Τότε θα ισχύει f(\alpha) < \eta < f(\beta)

Θεωρούμε την συνάρτηση

    \[g(x) = f(x) - \eta, \, x\in [\alpha, \beta]\]

για την οποία παρατηρούμε ότι :

  • η g είναι συνεχής στο [\alpha,\, \beta]
  • \left\{ \begin{array}{c} g(\alpha) = f(\alpha)-\eta < 0 \\ g(\beta) = f(\beta)-\eta>0 \end{array} \right\} \Rightarrow g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει x_{0} \in (\alpha, \beta),  τέτοιο, ώστε

g(x_0) = 0 \Rightarrow f(x_0) - \grh = 0 \Rightarrow f(x_0) = \grh.

{pic/imgB1_345}

Παρατηρήσεις – συνέπειες του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών.

  • Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής τότε αυτή,  δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

{pic/imgB1_346}

  • Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι η εικόνα f(\grD) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

{pic/imgB1_347}

Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης – ελάχιστης τιμής.

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [\alpha, \beta], τότε η f παίρνει στο [\alpha, \beta] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχήμα)

Δηλαδή, υπάρχουν x_1 , x_2 \in [\gra, \grb] τέτοια, ώστε, αν m = f(x_1) και M = f(x_2) , να ισχύει

m \leq f(x) \leq M , για κάθε x \in [\gra, \grb] .

{pic/imgB1_347b}

Παρατήρηση:

 

Please follow and like us: