Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.
Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
- Είναι συνεχής στο
και
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα
Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεώρηματος Bolzano;
Αν f συνεχής συνάρτηση στο στο και
τότε η γραφική παράσταση
της
τέμνει τον άξονα
σε ένα τουλάχιστον σημείο
οπου
{pic/imgB1_338}
Παρατηρήσεις και συνέπειες του θεωρήματος Bolzano.
Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:
- Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε
ή είναι αρνητική για κάθε
δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα
{pic/imgB1_339}
- Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
{pic/imgB1_340}
- Αν δεν ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι η συνάρτηση δεν θα έχει ρίζες.
- Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση
υπάρχει τουλάχιστον ένα
τέτοιο ώστε
δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η είναι συνεχής ή ότι οι τιμές
είναι ετερόσημες, δηλαδή
- Το θεώρημα Bolzano διαπιστώνει την ύπαρξη τουλάχιστον μιας ρίζας.
Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. Αν:
- η f είναι συνεχής στο
και
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και
υπάρχει ένας, τουλάχιστον
ώστε
Να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
Έστω η συνεχής στο διάστημα συνάρτηση
με
.
Αφού μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι
Τότε θα ισχύει
Θεωρούμε την συνάρτηση
για την οποία παρατηρούμε ότι :
- η
είναι συνεχής στο
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε
{pic/imgB1_345}
Παρατηρήσεις – συνέπειες του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών.
- Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής τότε αυτή, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.
{pic/imgB1_346}
- Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι η εικόνα
ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης
είναι διάστημα.
{pic/imgB1_347}
Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης – ελάχιστης τιμής.
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο τότε η
παίρνει στο
μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Σχήμα)
Δηλαδή, υπάρχουν τέτοια, ώστε, αν
και
να ισχύει
για κάθε
{pic/imgB1_347b}
Παρατήρηση: