Θεωρία - Β1.8 Συνέχεια Συνάρτησης (θεωρήματα)

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.

Έστω μια συνάρτηση $f: [\alpha,\, \beta] \to \rr$ για την οποία ισχύουν:

Είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$ και
$f(\alpha) \cdot f(\beta) <0$

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{0} \in (\alpha,\, \beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_{0}) = 0$

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης $f(x) = 0$ στο ανοικτό διάστημα $(\alpha,\, \beta)$

Ποια η γεωμετρική ερμηνεία του θεώρηματος Bolzano;

Αν f συνεχής συνάρτηση στο στο $[\alpha,\, \beta]$ και $f(\alpha) \cdot f(\beta) <0$ τότε η γραφική παράσταση $C_f$ της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο $M(x_{0},0)$ οπου $x_0 \in (\alpha,\, \beta).$

{pic/imgB1_338}

Παρατηρήσεις και συνέπειες του θεωρήματος Bolzano.

Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε $x \in \grD$ ή είναι αρνητική για κάθε $x \in \grD,$ δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα $\grD.$

{pic/imgB1_339}

Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

{pic/imgB1_340}

Αν δεν ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι η συνάρτηση δεν θα έχει ρίζες.
Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση $f:[\gra,\grb]\rightarrow \rr$ υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{0} \in (\alpha,\, \beta)$ τέτοιο ώστε $f(x_{0}) = 0,$ δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η είναι συνεχής ή ότι οι τιμές $f(\gra), f(\grb)$ είναι ετερόσημες, δηλαδή $f(\gra)\cdot f(\grb)<0.$
Το θεώρημα Bolzano διαπιστώνει την ύπαρξη τουλάχιστον μιας ρίζας.

Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ . Αν:

η f είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$ και
$f(\alpha) \neq f(\beta)$

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta),$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον $x_{0} \in (\alpha, \beta),$ ώστε

$f(x_{0}) = \eta$

Να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Έστω η συνεχής στο διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ συνάρτηση $f$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$ .

Αφού $f(\alpha) \neq f(\beta)$ μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέτουμε ότι $f(\alpha) < f(\beta).$ Τότε θα ισχύει $f(\alpha) < \eta < f(\beta)$

Θεωρούμε την συνάρτηση

$g(x) = f(x) - \eta, \, x\in [\alpha, \beta]$

για την οποία παρατηρούμε ότι :

η $g$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\, \beta]$
$\left\{ \begin{array}{c} g(\alpha) = f(\alpha)-\eta < 0 \\ g(\beta) = f(\beta)-\eta>0 \end{array} \right\} \Rightarrow g(\alpha) \cdot g(\beta) < 0$

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει $x_{0} \in (\alpha, \beta),$ τέτοιο, ώστε

$g(x_0) = 0 \Rightarrow f(x_0) - \grh = 0 \Rightarrow f(x_0) = \grh.$

{pic/imgB1_345}

Παρατηρήσεις – συνέπειες του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών.

Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής τότε αυτή, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

{pic/imgB1_346}

Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι η εικόνα $f(\grD)$ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης $f$ είναι διάστημα.