Θεωρία – Β1.8 Συνέχεια Συνάρτησης (ορισμοί)

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της;

Έστω η συνάρτηση f: A \to \rr και x_{0} \in A. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_{0} \in A αν και μόνο αν

    \[\lim_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0})\]

 

Να αναφέρετε, πότε η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο x_{0} \in A_{f}

Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της όταν :

  • Δεν υπάρχει το όριό της στο x_0 ή
  • Υπάρχει το όριό της στο x_0, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f(x_0), στο σημείο x_0.

 

Πότε μια συνάρτηση  f  λέγεται συνεχής;

Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται συνεχής συνάρτηση.

 

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις βασικών συναρτήσεων.

  • Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x_0 \in \rr  ισχύει \orio{x}{x_0}{P(x)}=P(x_0).
  • Κάθε ρητή συνάρτηση \dfrac{P}{Q} είναι συνεχής , αφού για κάθε x_0 του πεδίου ορισμού της ισχύει \orio{x}{x_0}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}=\dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}
  • Οι συναρτήσεις f(x) = \hm x και g(x) = \syn x είναι συνεχείς, αφού για κάθε x_0 \in \rr ισχύει \orio{x}{x_0}{\hm x}=\hm x_0 και \orio{x}{x_0}{\syn x}=\syn x_0
  • Οι συναρτήσεις f(x) = \gra^x και g(x) = log_{\gra} x, με 0 <\gra \neq 1 είναι συνεχείς.

Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων;

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x_0, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις:

    \[f+g, \quad c\cdot f \quad \text{όπου} \quad c \in \rr, \quad f\cdot g, \quad, \dfrac{f}{g}, \quad |f|, \quad \sqrt[\grn]{f}\]

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x_0.

Παρατήρηση

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι οι συναρτήσεις f(x)=\ef x και g(x)=\snf x είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων.

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x_0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(x_0), τότε η σύνθεσή τους g\circ f είναι συνεχής στο x_0.

Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (\alpha,\, \beta) και πότε στο κλειστό διάστημα [\alpha,\, \beta];

Μια συνάρτηση f, θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (\alpha,\, \beta) (Σχήμα α) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (\alpha,\, \beta).

Μια συνάρτηση f, θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [\alpha,\, \beta] } (Σχήμα β) όταν:

  • είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (\alpha,\, \beta)
  • \displaystyle\lim_{x \to \alpha^{+}}f(x) = f(\alpha),
  • \displaystyle\lim_{x \to \beta^{-}}f(x) = f(\beta).

{pic/imgB1_337}

Πως ορίζεται το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μονότονης συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [\gra, \grb];

Από το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [\gra, \grb] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Πως ορίζεται το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μονότονης συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το (\gra, \grb);

  • Aν μια συνάρτηση f είναι \textbf{γνησίως αύξουσα} και \textbf{συνεχής} σε ένα ανοικτό διάστημα (\gra, \grb), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (A, B) (Σχ. 71α), όπου 

        \[A=\orio{x}{\gra^{+}}{f(x)} \quad \text{και} \quad B=\orio{x}{\grb^{-}}{f(x)}\]

  • Αν, όμως, η f είναι \textbf{γνησίως φθίνουσα} και \textbf{συνεχής} στο (\gra, \grb), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β, Α) (Σχ. 71β).

{pic/imgB1_350}

Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [\gra,\grb] , [\gra, \grb) και (\gra, \grb].

Please follow and like us: