Θεωρία - Β1.8 Συνέχεια Συνάρτησης (ορισμοί)

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της;

Έστω η συνάρτηση $f: A \to \rr$ και $x_{0} \in A.$ Θα λέμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_{0} \in A$ αν και μόνο αν

$\lim_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0})$

Να αναφέρετε, πότε η συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο σημείο $x_{0} \in A_{f}$

Μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της όταν :

Δεν υπάρχει το όριό της στο $x_0$ ή
Υπάρχει το όριό της στο $x_0,$ αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, $f(x_0),$ στο σημείο $x_0.$

Πότε μια συνάρτηση $f$ λέγεται συνεχής;

Μία συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται συνεχής συνάρτηση.

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις βασικών συναρτήσεων.

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $Ρ$ είναι συνεχής, αφού για κάθε $x_0 \in \rr$ ισχύει $\orio{x}{x_0}{P(x)}=P(x_0).$
Κάθε ρητή συνάρτηση $\dfrac{P}{Q}$ είναι συνεχής , αφού για κάθε $x_0$ του πεδίου ορισμού της ισχύει $\orio{x}{x_0}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}=\dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}$
Οι συναρτήσεις $f(x) = \hm x$ και $g(x) = \syn x$ είναι συνεχείς, αφού για κάθε $x_0 \in \rr$ ισχύει $\orio{x}{x_0}{\hm x}=\hm x_0$ και $\orio{x}{x_0}{\syn x}=\syn x_0$
Οι συναρτήσεις $f(x) = \gra^x$ και $g(x) = log_{\gra} x,$ με $0 <\gra \neq 1$ είναι συνεχείς.

Πως ορίζονται οι πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων;

Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $x_0,$ τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις:

$f+g, \quad c\cdot f \quad \text{όπου} \quad c \in \rr, \quad f\cdot g, \quad, \dfrac{f}{g}, \quad |f|, \quad \sqrt[\grn]{f}$

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το $x_0.$

Παρατήρηση

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι οι συναρτήσεις $f(x)=\ef x$ και $g(x)=\snf x$ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων.

Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο $x_0$ και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο $f(x_0),$ τότε η σύνθεσή τους $g\circ f$ είναι συνεχής στο $x_0.$

Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(\alpha,\, \beta)$ και πότε στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ ;

Μια συνάρτηση $f,$ θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(\alpha,\, \beta)$ (Σχήμα α) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(\alpha,\, \beta).$

Μια συνάρτηση $f,$ θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\, \beta]$ } (Σχήμα β) όταν:

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $(\alpha,\, \beta)$
$\displaystyle\lim_{x \to \alpha^{+}}f(x) = f(\alpha),$
$\displaystyle\lim_{x \to \beta^{-}}f(x) = f(\beta).$

{pic/imgB1_337}

Πως ορίζεται το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μονότονης συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το $[\gra, \grb]$ ;

Από το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το $[\gra, \grb]$ είναι το κλειστό διάστημα $[m, M],$ όπου $m$ η ελάχιστη τιμή και $Μ$ η μέγιστη τιμή της.

Πως ορίζεται το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μονότονης συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το $(\gra, \grb)$ ;

Aν μια συνάρτηση $f$ είναι \textbf{γνησίως αύξουσα} και \textbf{συνεχής} σε ένα ανοικτό διάστημα $(\gra, \grb),$ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(A, B)$ (Σχ. 71α), όπου
$A=\orio{x}{\gra^{+}}{f(x)} \quad \text{και} \quad B=\orio{x}{\grb^{-}}{f(x)}$
Αν, όμως, η $f$ είναι \textbf{γνησίως φθίνουσα} και \textbf{συνεχής} στο $(\gra, \grb),$ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα $(Β, Α)$ (Σχ. 71β).

{pic/imgB1_350}

Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής $[\gra,\grb] , [\gra, \grb)$ και $(\gra, \grb].$