Θεωρία - Β1.3 Συνάρτηση 1−1, Αντίστροφη Συνάρτηση

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση $f :\grA \rightarrow \rr$ λέγεται συνάρτηση 1-1;

Ορισμός 1

Μια συνάρτηση $f :\grA \rightarrow \rr$ λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} όταν για οποιαδήποτε $x_1 , x_2 \in\grA$ ισχύει η συνεπαγωγή:

αν $x_1 \neq x_2,$ τότε $f(x_1) \neq f(x_2).$

Ορισμός 2

Μια συνάρτηση $f :\grA \rightarrow \rr$ λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} αν και μόνο αν για οποιαδήποτε $x_1 , x_2 \in\grA$ ισχύει η συνεπαγωγή:

αν $f(x_1) = f(x_2)$ τότε $x_1 = x_2.$

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνάρτηση 1-1; (γεωμετρική ερμηνεία)

Αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη, τότε η συνάρτηση είναι 1-1. (Σχήμα)

{pic/imgB1_91}

Παρατηρήσεις για τις συναρτήσεις 1-1.

Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ”1-1”.
Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά \textbf{δεν} είναι γνησίως μονότονες.

Παράδειγμα: η συνάρτηση

$</span>g(x)= \left\{\begin{array}{ll} x, & x\leq 0\\\\ \dfrac{1}{x}, & x>0 \end{array}\right.$

{pic/imgB1_92}

Έστω συνάρτηση $f:\grA\rightarrow \rr,$ η οποία είναι 1-1. Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της $f$ ;

Έστω μια συνάρτηση $f:\grA\rightarrow \rr.$ Ορίζουμε αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και συμβολίζουμε $f^{-1}$ την συνάρτηση $f^{-1}:f(A)\rightarrow A$ για την οποία κάθε $y \in f(A)$ αντιστοιχίζεται στο μοναδικό $x \in A$ για το οποίο ισχύει $f(x) = y.$

Παρατηρήσεις

Για να έχει αντίστροφη μία συνάρτηση πρέπει να είναι 1-1, δηλαδή $f$ αντιστρέψιμη $\Leftrightarrow$ f να είναι 1-1.
Η αντίστροφη της $f$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f,
Η αντίστροφη της $f$ έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και
Ισχύει η ισοδυναμία: $f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x.$ Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι:

- $f^{-1}\left(f(x)\right) = x, \quad x\in A$
- $f\left(f^{-1}(y)\right) = y, \quad y\in f(A)$

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $xʹOyʹ.$

Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις $C$ και $Cʹ$ των $f$ και της $f^{ −1}$ στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα).

{pic/imgB1_99}

Επειδή

$f(x) = y \Leftrightarrow f^{ −1}(y) = x ,$

αν ένα σημείο $M(\gra, \grb)$ ανήκει στη γραφική παράσταση C της $f,$ τότε το σημείο $M'(\grb,\gra)$ θα ανήκει στη γραφική παράσταση $Cʹ$ της $f^{ −1}$ και αντιστρόφως.