Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1-1;
Ορισμός 1
Μια συνάρτηση λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} όταν για οποιαδήποτε
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν τότε
Ορισμός 2
Μια συνάρτηση λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} αν και μόνο αν για οποιαδήποτε
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν τότε
Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνάρτηση 1-1; (γεωμετρική ερμηνεία)
Αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη, τότε η συνάρτηση είναι 1-1. (Σχήμα)
{pic/imgB1_91}
Παρατηρήσεις για τις συναρτήσεις 1-1.
- Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
- Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ”1-1”.
- Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά \textbf{δεν} είναι γνησίως μονότονες.
Παράδειγμα: η συνάρτηση
{pic/imgB1_92}
Έστω συνάρτηση η οποία είναι 1-1. Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της
;
Έστω μια συνάρτηση Ορίζουμε αντίστροφη συνάρτηση της
και συμβολίζουμε
την συνάρτηση
για την οποία κάθε
αντιστοιχίζεται στο μοναδικό
για το οποίο ισχύει
Παρατηρήσεις
- Για να έχει αντίστροφη μία συνάρτηση πρέπει να είναι 1-1, δηλαδή
αντιστρέψιμη
f να είναι 1-1.
- Η αντίστροφη της
έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f,
- Η αντίστροφη της
έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και
- Ισχύει η ισοδυναμία:
Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι:
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες
και
Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις και
των
και της
στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα).
{pic/imgB1_99}
Επειδή
αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση C της
τότε το σημείο
θα ανήκει στη γραφική παράσταση
της
και αντιστρόφως.
Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες
και