Θεωρία – Β1.3 Συνάρτηση 1−1, Αντίστροφη Συνάρτηση

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε μια συνάρτηση f :\grA \rightarrow \rr λέγεται συνάρτηση 1-1;

Ορισμός 1

Μια συνάρτηση f :\grA \rightarrow \rr λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} όταν για οποιαδήποτε x_1 , x_2 \in\grA ισχύει η συνεπαγωγή:

αν x_1 \neq x_2, τότε f(x_1) \neq f(x_2).

Ορισμός 2

Μια συνάρτηση f :\grA \rightarrow \rr λέγεται \textbf{συνάρτηση 1−1,} αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x_1 , x_2 \in\grA ισχύει η συνεπαγωγή:

αν f(x_1) = f(x_2) τότε x_1 = x_2.

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνάρτηση 1-1; (γεωμετρική  ερμηνεία)

Αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη, τότε η συνάρτηση είναι 1-1. (Σχήμα)

{pic/imgB1_91}

Παρατηρήσεις για τις συναρτήσεις 1-1.

  • Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
  • Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ”1-1”.
  • Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά \textbf{δεν} είναι γνησίως μονότονες.

Παράδειγμα: η συνάρτηση  

</span>g(x)= \left\{\begin{array}{ll}  x, & x\leq 0\\\\  \dfrac{1}{x}, & x>0  \end{array}\right.

{pic/imgB1_92}

Έστω συνάρτηση f:\grA\rightarrow \rr, η οποία είναι 1-1. Πως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f;

Έστω μια συνάρτηση f:\grA\rightarrow \rr. Ορίζουμε αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζουμε f^{-1} την συνάρτηση f^{-1}:f(A)\rightarrow A για την οποία κάθε y \in f(A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x \in A για το οποίο ισχύει f(x) = y.

Παρατηρήσεις

  • Για να έχει αντίστροφη μία συνάρτηση πρέπει να είναι 1-1, δηλαδή f αντιστρέψιμη \Leftrightarrow f να είναι 1-1.
  • Η αντίστροφη της f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f,
  • Η αντίστροφη της f έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και
  • Ισχύει η ισοδυναμία: f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι:
    • f^{-1}\left(f(x)\right) = x, \quad x\in A
    • f\left(f^{-1}(y)\right) = y, \quad y\in f(A)

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και xʹOyʹ.

Ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και Cʹ των f και της f^{ −1} στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχήμα).

{pic/imgB1_99}

Επειδή

    \[f(x) = y \Leftrightarrow f^{ −1}(y) = x ,\]

αν ένα σημείο M(\gra, \grb) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f, τότε το σημείο M'(\grb,\gra) θα ανήκει στη γραφική παράσταση Cʹ της f^{ −1} και αντιστρόφως.

Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και xʹOyʹ.

Please follow and like us: