Θεωρία – Β1.3 Ακρότατα συνάρτησης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x_0 \in A (ολικό) μέγιστο;

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x_0 \in A (ολικό) μέγιστο;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A (ολικό) μέγιστο, το f(x_0), όταν

f(x) \leq f(x_0) για κάθε x \in \grA (Σχ. α)

{pic/imgB1_84a}

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x_0 \in A (ολικό) ελάχιστο;

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x_0 \in A (ολικό) ελάχιστο, το f(x_0), όταν

f(x) \geq f(x_0) για κάθε x \in \grA (Σχ. α)

{pic/imgB1_84a}

Να δώσετε παραδείγματα συναρτήσεων που παρουσιαζουν:

  • μόνο μέγιστο,
  • μόνο ελάχιστο,
  • μέγιστο και ελάχιστο,
  • ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
  • Η συνάρτηση f(x) = − x^2 + 1 (Σχήμα) παρουσιάζει μόνο μέγιστο στο x_0 = 0, το f(0) = 1, αφού f(x) \leq f(0) για κάθε x \in \rr.

{pic/imgB1_85a}

  • Η συνάρτηση f(x) = | x -1 | (Σχήμα) παρουσιάζει μόνο ελάχιστο στο x_0 = 1, το f(1) = 0, αφού f(x) \geq f(1) για κάθε x \in \rr.

{pic/imgB1_85b}

  • Η συνάρτηση f(x) =\hm x (Σχήμα) παρουσιάζει και μέγιστο, το y = 1, σε καθένα από τα σημεία 2\grk\grp + \dfrac{\grp}{2}, grk \in \mathbb{Z} και ελάχιστο, το y = −1, σε καθένα από τα σημεία 2\grk\grp - \dfrac{\grp}{2}, grk \in \mathbb{Z} αφού −1 \leq \hm x\leq 1 για κάθε x \in \rr

Παρτατήρηση: Μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο σε περισσότερα του ενός σημεία.

{pic/imgB1_86a}

  • Η συνάρτηση f(x) = x^3 (Σχήμα) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.

{pic/imgB1_86b}

Τι λέμε ακρότατα μιας συνάρτησης;

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.

Please follow and like us: