Θεωρία - Β1.3 Ακρότατα συνάρτησης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) μέγιστο;

Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) μέγιστο;

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) μέγιστο, το $f(x_0),$ όταν

$f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in \grA$ (Σχ. α)

{pic/imgB1_84a}

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) ελάχιστο;

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) ελάχιστο, το $f(x_0),$ όταν

$f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x \in \grA$ (Σχ. α)

{pic/imgB1_84a}

Να δώσετε παραδείγματα συναρτήσεων που παρουσιαζουν:

Η συνάρτηση $f(x) = − x^2 + 1$ (Σχήμα) παρουσιάζει μόνο μέγιστο στο $x_0 = 0,$ το $f(0) = 1,$ αφού $f(x) \leq f(0)$ για κάθε $x \in \rr.$

{pic/imgB1_85a}

Η συνάρτηση $f(x) = | x -1 |$ (Σχήμα) παρουσιάζει μόνο ελάχιστο στο $x_0 = 1,$ το $f(1) = 0,$ αφού $f(x) \geq f(1)$ για κάθε $x \in \rr.$

{pic/imgB1_85b}

Η συνάρτηση $f(x) =\hm x$ (Σχήμα) παρουσιάζει και μέγιστο, το $y = 1,$ σε καθένα από τα σημεία $2\grk\grp + \dfrac{\grp}{2}, grk \in \mathbb{Z}$ και ελάχιστο, το $y = −1,$ σε καθένα από τα σημεία $2\grk\grp - \dfrac{\grp}{2}, grk \in \mathbb{Z}$ αφού $−1 \leq \hm x\leq 1$ για κάθε $x \in \rr$