Θεωρία – Β1.2 Ισότητα – Πράξεις – Σύνθεση συναρτήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε δύο συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες;

Έστω δύο συναρτήσεις f:A\rightarrow\rr και f:Β\rightarrow\rr.

Οι συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, δηλαδή Α=Β, και
  • για κάθε x \in A ισχύει f(x) = g(x).

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f = g.

Σε αυτή την περίπτωση οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

Πότε δύο συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες σε ένα σύνολο Γ;

Έστω δύο συναρτήσεις f:A\rightarrow\rr και f:Β\rightarrow\rr.

Αν Γ ένα υποσύνολο των Α και Β όπου για κάθε x\in \grG ισχύει

    \[f(x) = g(x),\]

 τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις  f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ.

Tο «ευρύτερο» υποσύνολο Γ στο οποίο δύο συναρτήσεις είναι ίσες, είναι η τομή των πεδίων ορισμού τους, δηλαδή

    \[\grG=A \cap B\]

αρκεί για κάθε x\in\grG να ισχύει f(x)=g(x).

Έστω δύο συναρτήσεις f:A\rightarrow\rr και f:Β\rightarrow\rr. Πως ορίζονται οι πράξεις f + g, ~ f - g,~ f \cdot g και \dfrac{f}{g} μεταξύ δύο συναρτήσεων f και g;

Έστω δύο συναρτήσεις f:A\rightarrow\rr και f:Β\rightarrow\rr.

Ορίζουμε ως άθροισμα f + g των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

  •  πεδίο ορισμού την τομή A\cap B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως 
  • τύπο (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Ορίζουμε ως διαφορά f - g των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

  • πεδίο ορισμού την τομή A\cap B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
  • τύπο (f-g)(x)=f(x)-g(x)

Ορίζουμε ως γινόμενο f \cdot g των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

  • πεδίο ορισμού την τομή A\cap B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
  • τύπο (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

 Ορίζουμε ως πηλίκο \dfrac{f}{g} των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

  • πεδίο ορισμού την τομή A\cap B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x), δηλαδή το σύνολο

    \[\{x / x \in A\cap B, \text{ με } g(x) \neq 0 \}.\]

  • τύπο \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}

Έστω f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως. Πως ορίζεται η σύνθεση της f με την g;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε

σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g\circ f,

τη συνάρτηση:

  • με τύπο (g\circ f)(x) = g(f(x)) και
  • πεδίο ορισμού που αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο

    \[A_{g\circ f} = \{ x \in A / f(x) \in B\}.\]

Είναι φανερό ότι η g\circ f ορίζεται αν A_{g\circ f} \neq \emptyset, δηλαδή αν f(A)\cap B \neq \emptyset.

{pic/imgB1_55}

Παρατήρηση: Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g\circ f και f\circ g, τότε αυτές  δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

Τι ισχύει για τη σύνθεση σύνθεση των f, g και h;

Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h\circ (g\circ f), τότε ορίζεται και η (h\circ g)\circ f και ισχύει

    \[h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f\]

Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με h\circ g\circ f.

Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.

Please follow and like us: