Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)
Πότε δύο συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες;
Έστω δύο συναρτήσεις και
Οι συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
- έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, δηλαδή Α=Β, και
- για κάθε
ισχύει
Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και
είναι ίσες γράφουμε
Σε αυτή την περίπτωση οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.
Πότε δύο συναρτήσεις και
με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες σε ένα σύνολο Γ;
Έστω δύο συναρτήσεις και
Αν Γ ένα υποσύνολο των Α και Β όπου για κάθε ισχύει
τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ.
Tο «ευρύτερο» υποσύνολο Γ στο οποίο δύο συναρτήσεις είναι ίσες, είναι η τομή των πεδίων ορισμού τους, δηλαδή
αρκεί για κάθε να ισχύει
Έστω δύο συναρτήσεις και
Πως ορίζονται οι πράξεις
και
μεταξύ δύο συναρτήσεων f και g;
Έστω δύο συναρτήσεις και
Ορίζουμε ως άθροισμα των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:
- πεδίο ορισμού την τομή
των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
- τύπο
Ορίζουμε ως διαφορά των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:
- πεδίο ορισμού την τομή
των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
- τύπο
Ορίζουμε ως γινόμενο των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:
- πεδίο ορισμού την τομή
των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
- τύπο
Ορίζουμε ως πηλίκο των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:
- πεδίο ορισμού την τομή
των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x), δηλαδή το σύνολο
- τύπο
Έστω f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως. Πως ορίζεται η σύνθεση της f με την g;
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε
σύνθεση της με την
και τη συμβολίζουμε με
τη συνάρτηση:
- με τύπο
και
- πεδίο ορισμού που αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο
Είναι φανερό ότι η ορίζεται αν
δηλαδή αν
{pic/imgB1_55}
Παρατήρηση: Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι και
τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.
Τι ισχύει για τη σύνθεση σύνθεση των και
Αν είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η
, τότε ορίζεται και η
και ισχύει
Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των και
και τη συμβολίζουμε με
Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις.