Θεωρία - Β1.2 Ισότητα - Πράξεις - Σύνθεση συναρτήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Πότε δύο συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες;

Έστω δύο συναρτήσεις $f:A\rightarrow\rr$ και $f:Β\rightarrow\rr.$

Οι συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:

έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού, δηλαδή Α=Β, και
για κάθε $x \in A$ ισχύει $f(x) = g(x).$

Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι ίσες γράφουμε $f = g.$

Σε αυτή την περίπτωση οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

Πότε δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, λέγονται ίσες σε ένα σύνολο Γ;

Έστω δύο συναρτήσεις $f:A\rightarrow\rr$ και $f:Β\rightarrow\rr.$

Αν Γ ένα υποσύνολο των Α και Β όπου για κάθε $x\in \grG$ ισχύει

$f(x) = g(x),$

τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ.

Tο «ευρύτερο» υποσύνολο Γ στο οποίο δύο συναρτήσεις είναι ίσες, είναι η τομή των πεδίων ορισμού τους, δηλαδή

$\grG=A \cap B$

αρκεί για κάθε $x\in\grG$ να ισχύει $f(x)=g(x).$

Έστω δύο συναρτήσεις $f:A\rightarrow\rr$ και $f:Β\rightarrow\rr.$ Πως ορίζονται οι πράξεις $f + g, ~ f - g,~ f \cdot g$ και $\dfrac{f}{g}$ μεταξύ δύο συναρτήσεων f και g;

Έστω δύο συναρτήσεις $f:A\rightarrow\rr$ και $f:Β\rightarrow\rr.$

Ορίζουμε ως άθροισμα $f + g$ των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

πεδίο ορισμού την τομή $A\cap B$ των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
τύπο $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Ορίζουμε ως διαφορά $f - g$ των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

πεδίο ορισμού την τομή $A\cap B$ των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
τύπο $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Ορίζουμε ως γινόμενο $f \cdot g$ των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

πεδίο ορισμού την τομή $A\cap B$ των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως
τύπο $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Ορίζουμε ως πηλίκο $\dfrac{f}{g}$ των δύο συναρτήσεων τη συνάρτηση με:

πεδίο ορισμού την τομή $A\cap B$ των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως εξαιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(x), δηλαδή το σύνολο

$\{x / x \in A\cap B, \text{ με } g(x) \neq 0 \}.$

τύπο $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

Έστω f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως. Πως ορίζεται η σύνθεση της f με την g;

Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε

σύνθεση της $f$ με την $g,$ και τη συμβολίζουμε με $g\circ f,$

τη συνάρτηση:

με τύπο $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ και
πεδίο ορισμού που αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο