Θεωρία - Β1.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Έστω Α ένα υποσύνολο του $R.$ Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ με πεδίο ορισμού το σύνολο A;

Έστω $f$ μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Το σύνολο των σημείων $M(x, y)$ για τα οποία ισχύει $y = f(x),$ δηλαδή το σύνολο των σημείων

$M(x, f(x)), x \in A,$

λέγεται γραφική παράσταση της $f$ και συμβολίζεται συνήθως με $C_f .$ Η εξίσωση, λοιπόν, $y = f(x)$ επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της $C_f .$

Επομένως, η $y = f(x)$ είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της $f.$

Πότε μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

Επειδή κάθε $x\in A$ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο $y \in\rr,$ δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με την ίδια τετμημένη.

Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της $f$ το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ.α).

Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης (Σχ.β).

Πως προσδιορίζεται το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και η τιμή $f(x_0)$ από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f;$

Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f,$ τότε:

Το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο $Α_f$ των τετμημένων των σημείων της $C_f$ (σχήμα (α)).
Το σύνολο τιμών της $f$ είναι το σύνολο $f(A)$ των τεταγμένων των σημείων της $C_f.$ (σχήμα (β)).
Η τιμή της $f$ στο $x_0 \in A$ είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας $x = x_0$ και της $C_f$ .

Όταν μας δίνεται η γραφική παράσταση $C_f ,$ μιας συνάρτησης $f$ πως μπορούμε να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $-f$ και $| f |.$ ;

Η γραφική παράστασης της συνάρτησης $-f$ είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα $x'x,$ της γραφικής παράστασης της $f,$ γιατί αποτελείται από τα σημεία $M'(x,-f(x))$ που είναι συμμετρικά των $M(x, f(x)),$ ως προς τον άξονα $x'x$ (σχήμα (α)).

Η γραφική παράσταση της $| f |$ αποτελείται από τα τμήματα της $C_f$ που βρίσκονται πάνω από τον άξονα $x'x$ και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα $x'x,$ των τμημάτων της $C_f$ που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (σχήμα (β)).