Θεωρία - Α2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Πως ορίζονται οι έννοιες “μεγαλύτερος από” ή “μικρότερος από”; (έννοια της διάταξης)

Ένας αριθμός $\gra$ είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό $\grb$ και γράφουμε $\gra>\grb$ , όταν ισχύει $\gra-\grb>0 .$
Σ’ αυτή την περίπτωση λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε $\grb<\gra.$ Δηλαδή ισχύει:

$\gra>\grb \Leftrightarrow \gra-\grb>0$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Γεωμετρικά, η ανισότητα $\gra>\grb$ σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β .

Τι σημαίνει ότι «ο $\gra$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον $\grb$ »;

Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει

$\gra > \grb \text{ ή } $\gra= \grb,$

τότε γράφουμε $\gra \geq \grb$ και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».

Τι προκύπτει από τον ορισμό της διάταξης και τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού;

Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτει ότι:

$\left.\begin{array}{l} \gra>0\\ \grb>0 \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grb>0$
$\left.\begin{array}{l} \gra<0\\ \grb<0 \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grb<0$
Αν $\gra, \grb$ ομόσημοι $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \gra\cdot\grb>0\\ \dfrac{\gra}{\grb}>0 \end{array}\right.$
Αν $\gra, \grb$ ετερόσημοι $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \gra\cdot\grb<0\\ \dfrac{\gra}{\grb}<0 \end{array}\right.$
$\gra^2 \geq 0$ για κάθε $\gra \in \rr.$ (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $\gra=0.$ )
$\gra^2+\grb^2=0\Leftrightarrow \gra=\grb=0$
$\gra^2+\grb^2\neq0\Leftrightarrow \gra\neq0 \ \text{ή} \ \grb\neq0$

Να αναφέρεται τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

Αν $\gra>\grb$ και $\grb>\grg\Rightarrow \gra>\grg \qquad$ (Μεταβατική ιδιότητα)
$\gra>\grb\Leftrightarrow \gra+\grg>\grb+\grg$
$\gra > \grb\stackrel{\grg>0}{\Longleftrightarrow} \gra\cdot \grg>\grb\cdot \grg$
$\gra > \grb\stackrel{\grg<0}{\Longleftrightarrow} \gra\cdot \grg<\grb\cdot \grg$
$\left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \grg>\grd \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grg>\grb+\grd$

Προσοχή: Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.

Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή:
$\left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \grg>\grd \end{array}\right\}\Rightarrow \gra\cdot\grg>\grb\cdot\grd$

Προσοχή:Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.

Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο $\grn$ ισχύει η ισοδυναμία:
$\gra>\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}.$

Παρατήρηση:Οι ιδιότητες 5 και 6 ισχύουν και για περισσότερες ανισότητες.

Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο $\grn$ ισχύει η ισοδυναμία:

$\gra>\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}.$

Ευθύ

Έστω $\gra>\grb$ με $\gra, \grb>0$ Τότε:
$\left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \gra>\grb\\ \dots\\ \gra>\grb\\ \end{array}\right\}\Rightarrow \gra\cdot\gra\cdot ... \cdot\gra>\grb\cdot\grb\cdot ...\cdot\grb\Rightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}$

Αντίστροφο

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι $\gra^{\grn}>\grb^{\grn}$ και $\gra \leq \grb.$ Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν $\gra=\grb,$ από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε $\gra^{\grn}=\grb^{\grn}$ (άτοπο),
2η περίπτωση: αν ήταν $\gra<\grb,$ θα είχαμε $\gra^{\grn}<\grb^{\grn}$ (άτοπο)
Άρα, $\gra>\grb.$

Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο $\grn$ ισχύει η ισοδυναμία:

$\gra=\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}=\grb^{\grn}.$

Ευθύ

Έστω $\gra=\grb.$ με $\gra, \grb>0$ Τότε από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει $\gra^{\grn}=\grb^{\grn}.$

Αντίστροφο

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι $\gra^{\grn}=\grb^{\grn}$ και $\gra \neq \grb.$ Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν $\gra>\grb,$ από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε $\gra^{\grn}>\grb^{\grn}$ (άτοπο),

2η περίπτωση: αν ήταν $\gra<\grb,$ από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε $\gra^{\grn}<\grb^{\grn}$ (άτοπο).
Άρα, $\gra=\grb.$

Πως ορίζεται το κλειστό διάστημα από α μέχρι β; Πως ορίζεται το ανοικτό διάστημα από α μέχρι β;

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με $\gra \leq x \leq \grb$ λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με $[\gra, \grb].$

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με $\gra< x < \grb$ λέγεται ανοικτό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με $(\gra, \grb).$

Πως ορίζονται οι μορφές διαστημάτων πραγματικών αριθμών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους;

Βιβλιογραφία:

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ
Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός,
Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος,
Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.}

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us:

Θεωρία – Α2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Τράπεζα θεμάτων – Α2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών. (μέρος Γ)

Τράπεζα θεμάτων – Α2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών (μέρος Δ)

Τράπεζα θεμάτων – Α2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών (μέρος Β)

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας