Θεωρία – Α2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)

Πως ορίζονται οι έννοιες “μεγαλύτερος από” ή “μικρότερος από”; (έννοια της διάταξης)

Ένας αριθμός \gra είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό \grb και γράφουμε \gra>\grb, όταν ισχύει \gra-\grb>0 .
Σ’ αυτή την περίπτωση λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε \grb<\gra. Δηλαδή ισχύει:

    \[\gra>\grb \Leftrightarrow \gra-\grb>0\]

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

  • Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
  •  Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Γεωμετρικά, η ανισότητα \gra>\grbσημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β .

Τι σημαίνει ότι «ο \gra είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον \grb»;

Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει

    \[\gra > \grb \text{ ή } $\gra= \grb,\]

τότε γράφουμε \gra \geq \grb και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».

Τι προκύπτει από τον ορισμό της διάταξης και τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού;

Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτει ότι:

  • \left.\begin{array}{l} \gra>0\\ \grb>0 \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grb>0
  • \left.\begin{array}{l} \gra<0\\ \grb<0 \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grb<0
  • Αν \gra, \grb ομόσημοι \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \gra\cdot\grb>0\\ \dfrac{\gra}{\grb}>0 \end{array}\right.
  • Αν \gra, \grb ετερόσημοι \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \gra\cdot\grb<0\\ \dfrac{\gra}{\grb}<0 \end{array}\right.
  • \gra^2 \geq 0 για κάθε \gra \in \rr. (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν \gra=0.)
  • \gra^2+\grb^2=0\Leftrightarrow \gra=\grb=0
  • \gra^2+\grb^2\neq0\Leftrightarrow \gra\neq0 \ \text{ή} \ \grb\neq0

Να αναφέρεται τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

  • Αν  \gra>\grb και \grb>\grg\Rightarrow \gra>\grg \qquad (Μεταβατική ιδιότητα)
  • \gra>\grb\Leftrightarrow \gra+\grg>\grb+\grg
  • \gra > \grb\stackrel{\grg>0}{\Longleftrightarrow} \gra\cdot \grg>\grb\cdot \grg
  • \gra > \grb\stackrel{\grg<0}{\Longleftrightarrow} \gra\cdot \grg<\grb\cdot \grg
  • \left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \grg>\grd \end{array}\right\}\Rightarrow \gra+\grg>\grb+\grd

Προσοχή:  Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.

  • Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[\left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \grg>\grd \end{array}\right\}\Rightarrow \gra\cdot\grg>\grb\cdot\grd\]

Προσοχή:Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.

  • Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο \grn ισχύει η ισοδυναμία:

        \[\gra>\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}.\]

Παρατήρηση:Οι ιδιότητες 5 και 6 ισχύουν και για περισσότερες ανισότητες.

Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο \grn ισχύει η ισοδυναμία:

    \[\gra>\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}.\]

Ευθύ

Έστω \gra>\grb με \gra, \grb>0 Τότε:
\left.\begin{array}{l} \gra>\grb\\ \gra>\grb\\ \dots\\ \gra>\grb\\ \end{array}\right\}\Rightarrow \gra\cdot\gra\cdot ... \cdot\gra>\grb\cdot\grb\cdot ...\cdot\grb\Rightarrow \gra^{\grn}>\grb^{\grn}

Αντίστροφο

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι \gra^{\grn}>\grb^{\grn} και \gra \leq \grb. Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν \gra=\grb, από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε \gra^{\grn}=\grb^{\grn} (άτοπο),
2η περίπτωση: αν ήταν \gra<\grb, θα είχαμε \gra^{\grn}<\grb^{\grn} (άτοπο)
Άρα, \gra>\grb.

Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο \grn ισχύει η ισοδυναμία:

    \[\gra=\grb \Leftrightarrow \gra^{\grn}=\grb^{\grn}.\]

Ευθύ

Έστω \gra=\grb. με \gra, \grb>0 Τότε από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει  \gra^{\grn}=\grb^{\grn}.

Αντίστροφο

Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι \gra^{\grn}=\grb^{\grn} και \gra \neq \grb. Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν \gra>\grb, από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε \gra^{\grn}>\grb^{\grn} (άτοπο),

2η περίπτωση: αν ήταν \gra<\grb, από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε \gra^{\grn}<\grb^{\grn} (άτοπο).
Άρα, \gra=\grb.

Πως ορίζεται το κλειστό διάστημα από α μέχρι β; Πως ορίζεται το ανοικτό διάστημα από α μέχρι β;

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με \gra \leq x \leq \grb λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με [\gra, \grb].

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με \gra< x < \grb λέγεται ανοικτό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με (\gra, \grb).

Πως ορίζονται οι μορφές διαστημάτων πραγματικών αριθμών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους;


Βιβλιογραφία:

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ
Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός,
Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος,
Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.}

Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές

Please follow and like us: