Άλγεβρα (Α’ Λυκείου)
Πως ορίζονται οι έννοιες “μεγαλύτερος από” ή “μικρότερος από”; (έννοια της διάταξης)
Ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό
και γράφουμε
, όταν ισχύει
Σ’ αυτή την περίπτωση λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε Δηλαδή ισχύει:
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:
- Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν.
- Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.
Γεωμετρικά, η ανισότητα σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον β .
Τι σημαίνει ότι «ο είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον
»;
Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει
τότε γράφουμε και διαβάζουμε: «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».
Τι προκύπτει από τον ορισμό της διάταξης και τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού;
Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτει ότι:
- Αν
ομόσημοι
- Αν
ετερόσημοι
για κάθε
(Η ισότητα ισχύει μόνο όταν
)
Να αναφέρεται τις ιδιότητες των ανισοτήτων.
- Αν
και
(Μεταβατική ιδιότητα)
Προσοχή: Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.
- Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή:
Προσοχή:Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη.
- Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο
ισχύει η ισοδυναμία:
Παρατήρηση:Οι ιδιότητες 5 και 6 ισχύουν και για περισσότερες ανισότητες.
Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυναμία:
Ευθύ
Έστω με
Τότε:
Αντίστροφο
Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι και
Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε
(άτοπο),
2η περίπτωση: αν ήταν θα είχαμε
(άτοπο)
Άρα,
Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυναμία:
Ευθύ
Έστω με
Τότε από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει
Αντίστροφο
Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι και
Τότε:
1η περίπτωση: αν ήταν από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε
(άτοπο),
2η περίπτωση: αν ήταν από την παραπάνω ιδιότητα θα είχαμε
(άτοπο).
Άρα,
Πως ορίζεται το κλειστό διάστημα από α μέχρι β; Πως ορίζεται το ανοικτό διάστημα από α μέχρι β;
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με λέγεται ανοικτό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με
Πως ορίζονται οι μορφές διαστημάτων πραγματικών αριθμών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους;
Βιβλιογραφία:
ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ
Α´ τάξης Γενικού Λυκείου, Ανδρεαδάκης Στυλιανός,
Κατσαργύρης Βασίλειος, Μέτης Στέφανος, Μπρουχούτας Κων/νος, Παπασταυρίδης Σταύρος,
Πολύζος Γεώργιος, Υ.ΠΑΙ.Θ.}
Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές