Θεωρία - Β1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Σε ποιές περιπτώσεις διακρίνουμε τα όρια μιας συνάρτησης στο $+\infty$ ;

Έστω τρεις συναρτήσεις $f, g, h$ σε ένα διάστημα της μορφής $(α, +\infty).$

Έστω τρεις συναρτήσεις $f, g, h$ σε ένα διάστημα της μορφής $(\gra, -\infty).$

Παρατηρούμε ότι καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

το $f(x)$ προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό $l.$ Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $f$ έχει στο $+\infty$ όριο το $l$ και γράφουμε
$\orio{x}{+\infty}{f(x)}=l.$
το $g(x)$ αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $g$ έχει στο $+\infty$ όριο το $+\infty$ και γράφουμε
$\orio{x}{+\infty}{g(x)}=+\infty.$
το $h(x)$ μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $h$ έχει στο $+\infty$ όριο το $-\infty$ και γράφουμε
$\orio{x}{+\infty}{h(x)}=-\infty.$

Σε ποιές περιπτώσεις διακρίνουμε τα όρια μιας συνάρτησης στο $-\infty$ ;

Έστω τρεις συναρτήσεις $f, g, h$ σε ένα διάστημα της μορφής $(-\infty, \gra).$

Παρατηρούμε ότι καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

το $f(x)$ προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό $l.$ Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $f$ έχει στο $-\infty$ όριο το $l$ και γράφουμε
$\orio{x}{-\infty}{f(x)}=l.$
το $g(x)$ αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $g$ έχει στο $-\infty$ όριο το $+\infty$ και γράφουμε
$\orio{x}{-\infty}{g(x)}=+\infty.$
το $h(x)$ μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η $h$ έχει στο $-\infty$ όριο το $-\infty$ και γράφουμε
$\orio{x}{-\infty}{h(x)}=-\infty.$

Όριο στο άπειρο: Βασικές ιδιότητες.

Για τον υπολογισμό του ορίου στο $+\infty$ ή $-\infty$ ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:

$\orio{x}{+\infty}{x^{\grn}}=+\infty, \quad \grn \in \nn^{*}$
$\orio{x}{+\infty}{x^{\grn}}$
$\orio{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^{\grn}}}=0, \quad \grn \in \nn^{*}$
$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{v}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{v}=\left\{\begin{array}{l}+\infty \\ -\infty\end{array}\right.$
- $\orio{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x^{\grn}}}=0, \quad \grn \in \nn^{*}$
Παρατήρηση: Για τα όρια στο $+\infty, -\infty$ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο $x_0$ με την προϋπόθεση ότι:
- οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και
- δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.
Τι ισχύει για το όριο μιας πολυωνυμικής συνάρτησης στο άπειρο;

Για την πολυωνυμική συνάρτηση $P(x) =\alpha_{\nu}x^{\nu}+ \alpha_{\nu -1}x^{\nu -1}+ \cdots + \alpha_{1}x+\alpha_{0},$ με $\gra_{\grn} \neq 0$ ισχύει:

$\orio{x}{+\infty}{P(x)}=\orio{x}{+\infty}{\gra_{\grn}x_{\grn}} \quad \text{και} \quad \orio{x}{-\infty}{P(x)}=\orio{x}{-\infty}{\gra_{\grn}x_{\grn}}$

Τι ισχύει για το όριο μιας ρητής συνάρτησης στο άπειρο;

Για την ρητή συνάρτηση

$f(x)=\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}+ \alpha_{\nu -1}x^{\nu -1}+ \cdots + \alpha_{1}x+\alpha_{0}}{\grb_{\grk}x^{\grk}+ \grb_{\grk -1}x^{\grk -1}+ \cdots + \grb_{1}x+\grb_{0}}, \gra_{\grn} \neq 0, \grb_{\grk} \neq 0$ ισχύει:

$\orio{x}{+\infty}{f(x)}=\orio{x}{+\infty}{\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\grb_{\grk}x^{\grk}}} \quad \text{και} \quad \orio{x}{-\infty}{f(x)}=\orio{x}{-\infty}{\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\grb_{\grk}x^{\grk}}}$

Τι ισχύει για το όριο στο $\pm \infty$ της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης;

Αν $\gra >1$ (Σχ. 60), τότε
- $\orio{x}{-\infty}{\gra^x}=0$
- $\orio{x}{+\infty}{\gra^x}=+\infty$
- $\orio{x}{0}{log_{\gra} x }=-\infty$
- $\orio{x}{+\infty}{log_{\gra} x }=+\infty$
Αν $0< \gra <1$ (Σχ. 61), τότε
- $\orio{x}{-\infty}{\gra^x}=+\infty$
- $\orio{x}{+\infty}{\gra^x}=0$
- $\orio{x}{0}{log_{\gra} x }=+\infty$
- $\orio{x}{+\infty}{log_{\gra} x }=-\infty$
Please follow and like us:

Θεωρία – Β1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας

Σχετικά Άρθρα

Σχετικά με Γιάννης Βελέντζας