Θεωρία – Β1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Μαθηματικά Προσανατολισμού (Γ’ Λυκείου)

Σε ποιές περιπτώσεις διακρίνουμε τα όρια μιας συνάρτησης στο +\infty;

Έστω τρεις συναρτήσεις f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (α, +\infty).

Έστω τρεις συναρτήσεις f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (\gra, -\infty).

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

  • το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f  έχει στο +\infty όριο το l και γράφουμε

        \[\orio{x}{+\infty}{f(x)}=l.\]

  • το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο +\infty όριο  το +\infty και γράφουμε

        \[\orio{x}{+\infty}{g(x)}=+\infty.\]

  • το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο +\infty όριο το -\infty και γράφουμε

        \[\orio{x}{+\infty}{h(x)}=-\infty.\]

Σε ποιές περιπτώσεις διακρίνουμε τα όρια μιας συνάρτησης στο -\infty;

Έστω τρεις συναρτήσεις f, g, h σε ένα διάστημα της μορφής (-\infty, \gra).

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

  • το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό l. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο -\infty όριο το l και γράφουμε

        \[\orio{x}{-\infty}{f(x)}=l.\]

  •  το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο -\infty όριο το +\infty και γράφουμε

        \[\orio{x}{-\infty}{g(x)}=+\infty.\]

  • το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο -\infty όριο το -\infty και γράφουμε

        \[\orio{x}{-\infty}{h(x)}=-\infty.\]

Όριο στο άπειρο: Βασικές ιδιότητες. 

Για τον υπολογισμό του ορίου στο +\infty ή -\infty ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:

  • \orio{x}{+\infty}{x^{\grn}}=+\infty, \quad \grn \in \nn^{*}
  • \orio{x}{+\infty}{x^{\grn}}
  • \orio{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^{\grn}}}=0, \quad \grn \in \nn^{*}
  • \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{v}
  • \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{v}=\left\{\begin{array}{l}+\infty \\ -\infty\end{array}\right.
  • \orio{x}{-\infty}{x^{\grn}}=</li> </ul> \left\{\begin{array}{ll}  +\infty, &\text{αν ν άρτιος}\\  -\infty, &\text{αν ν περιττός}  \end{array}\right. \quad \grn \in \nn^{*}
    • \orio{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x^{\grn}}}=0, \quad \grn \in \nn^{*}

    Παρατήρηση:  Για τα όρια στο +\infty,  -\infty ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x_0 με την προϋπόθεση ότι:

    • οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και
    • δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

    Τι ισχύει για το όριο μιας πολυωνυμικής συνάρτησης στο άπειρο;

    Για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x) =\alpha_{\nu}x^{\nu}+ \alpha_{\nu -1}x^{\nu -1}+ \cdots + \alpha_{1}x+\alpha_{0}, με \gra_{\grn} \neq 0 ισχύει:

        \[\orio{x}{+\infty}{P(x)}=\orio{x}{+\infty}{\gra_{\grn}x_{\grn}} \quad \text{και} \quad \orio{x}{-\infty}{P(x)}=\orio{x}{-\infty}{\gra_{\grn}x_{\grn}}\]

    Τι ισχύει για το όριο μιας ρητής συνάρτησης στο άπειρο;

    Για την ρητή συνάρτηση

    f(x)=\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}+ \alpha_{\nu -1}x^{\nu -1}+ \cdots + \alpha_{1}x+\alpha_{0}}{\grb_{\grk}x^{\grk}+ \grb_{\grk -1}x^{\grk -1}+ \cdots + \grb_{1}x+\grb_{0}}, \gra_{\grn} \neq 0,  \grb_{\grk} \neq 0 ισχύει:

        \[\orio{x}{+\infty}{f(x)}=\orio{x}{+\infty}{\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\grb_{\grk}x^{\grk}}} \quad \text{και} \quad \orio{x}{-\infty}{f(x)}=\orio{x}{-\infty}{\dfrac{\alpha_{\nu}x^{\nu}}{\grb_{\grk}x^{\grk}}}\]

    Τι ισχύει για το όριο στο \pm \infty της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης;

    Αν \gra >1 (Σχ. 60), τότε

    • \orio{x}{-\infty}{\gra^x}=0
    • \orio{x}{+\infty}{\gra^x}=+\infty
    • \orio{x}{0}{log_{\gra} x }=-\infty
    • \orio{x}{+\infty}{log_{\gra} x }=+\infty

    Αν 0< \gra <1 (Σχ. 61), τότε

    • \orio{x}{-\infty}{\gra^x}=+\infty
    • \orio{x}{+\infty}{\gra^x}=0
    • \orio{x}{0}{log_{\gra} x }=+\infty
    • \orio{x}{+\infty}{log_{\gra} x }=-\infty


     

    Please follow and like us: